導數與不等式的幾個相關問題

摘要： 學生以導數為工具研究函數的變化率，能有效、簡便地解決函數極值問題，加強對函數及其性質的深刻理解和直觀認識。本文具體討論了導數在解決與不等式有關問題時的作用。

關鍵詞： 導數 不等式 作用

導數是研究函數性質的一種重要工具，例如求函數的單調區間、求最大（小）值、求函數的值域，等等。在處理與不等式有關的綜合性問題時往往需要利用函數的性質；因此，很多時侯可以利用導數作為工具得出函數性質，從而解決不等式問題。下面具體討論導數在解決與不等式有關的問題時的作用。

一、 利用導數證明不等式

（一）利用導數得出函數單調性來證明不等式。

我們知道函數在某個區間上的導數值大于（或小于）0時，則該函數在該區間上單調遞增（或遞減）。因而在證明不等式時，根據不等式的特點，有時可以構造函數，用導數證明該函數的單調性，然后用函數單調性達到證明不等式的目的，即把證明不等式轉化為證明函數的單調性。具體有如下幾種形式：

1. 直接構造函數，然后用導數證明該函數的增減性，再利用函數在它的同一單調遞增（減）區間，自變量越大，函數值越大（小），來證明不等式成立。

例1：x＞0時，求證：x- -ln(1+x)＜0。

證明：設f(x)= x- -ln(1+x)(x＞0)， 則f′(x)= 。

∵x＞0，∴f′(x)＜0，故f(x)在（0，+∞）上遞減，

所以x＞0時，f(x)＜f(0)=0，即x- -ln(1+x)＜0成立。

2.把不等式變形后再構造函數，然后利用導數證明該函數的單調性，達到證明不等式的目的。

例2：已知：a，b∈R，b＞a＞e， 求證:a ＞b 。(e為自然對數的底)

證明：要證a ＞b ，只需證lna ＞lnb ，即證blna-alnb＞0。

設f(x)=xlna-alnx (x＞a＞e)，則f′(x)=lna- 。

∵a＞e，x＞a，∴lna＞1， ＜1，∴f′(x)＞0，因而f(x)在（e， +∞）上遞增。

∵b＞a，∴f(b)＞f(a)，故blna-alnb＞alna-alna=0，即blna＞alnb，

所以a ＞b 成立。

注意：此題若以a為自變量構造函數：f(x)=blnx-xlnb (e＜x＜b)，

則f′(x)= -lnb，f′(x)＞0時x＜ ，f′(x)＜0時x＞ ，故f(x)在區間（e， b）上的增減性要由e與 的大小而定，當然由題可以推測e＞ 。故f(x)在區間（e， b）上的遞減，但要證明e＞ 則需另費周折。因此，本題還是選擇以a為自變量來構造函數好，由本例可知用函數單調性證明不等式時，如何選擇自變量來構造函數是比較重要的。

（二）利用導數求出函數的最值（或值域）后，再證明不等式。

導數的另一個作用是求函數的最值因而在證明不等式時，根據不等式的特點，有時可以構造函數，用導數求出該函數的最值，由當該函數取最大（或最小）值時不等式都成立，可得該不等式恒成立，從而把證明不等式問題轉化為函數求最值問題。

例3：求證：n∈N ，n≥3時，2＞2n+1。

證明：要證原式，即需證2 -2n-1＞0，n≥3時成立。

設f(x)=2 -2x-1(x≥3)，則f′(x)=2 ln2-2(x≥3)。

∵x≥3，∴f′(x)≥2 ln3-2＞0，

∴f(x)在［3，+∞）上是增函數，

∴f(x)的最小值為f(3)=2 -2×3-1=1＞0。

所以，n∈N ，n≥3時，f(n)≥f(3)＞0， 即n≥3時，2 -2n-1＞0成立。

二、利用導數解決不等式恒成立問題

不等式恒成立問題一般都會涉及求參數范圍，往往把變量分離后可以轉化為m＞f(x) (或m＜f(x))恒成立，于是m大于f(x)的最大值（或m小于f(x)的最小值），從而把不等式恒成立問題轉化為函數求最值問題。因此，利用導數求函數最值是解決不等式恒成立問題的一種重要方法。

例4：已知函數，對f(x)=( + ) (a∈R)，對f(x)定義域內任意的x的值，f(x)≥27恒成立，求a的取值范圍。

解：函數f(x)的定義域為（0，+∞），由f(x)≥27對一切x∈（0，+∞）恒成立

知 + ≥ = 對一切x∈（0，+∞）恒成立，即a≥ x-x 對x∈（0，+∞）恒成立。

設h(x)= x-x ，則h(x)= x-，

h′(x)=0時，得x= ；

h′(x)＞0時，0＜x＜ ；

h′(x)＜0時，x＞ 。

所以h(x)在（0， ）上遞增，在（ ，+∞）上遞減。

故h(x)的最大值為h( )= ，所以a≥ 。

總之，無論是證明不等式，還是解不等式，只要在解題過程中需要用到函數的單調性或最值，我們都可以用導數作工具來解決。這種解題方法也是轉化與化歸思想在中學數學中的重要體現。

參考文獻：

［1］趙大鵬.3+X高考導練#8226;數學.中國致公出版社.

［2］王宜學.沙場點兵#8226;數學.遼寧大學出版社.

［3］狀元之路#8226;數學.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”