直線與圓的位置關(guān)系

摘要： 本文作者借助例題、解析及變題，試圖使學(xué)生從“形”和“數(shù)”兩個角度進行分析，充分利用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系研究直線和圓的位置關(guān)系。

關(guān)鍵詞： 《解析幾何》 直線和圓的位置關(guān)系 研究

引言

在江蘇省數(shù)學(xué)高考的八個C級要求的知識點中，《解析幾何》這一章節(jié)就有兩個，分別是直線和圓，在此我們一起來研究直線和圓的位置關(guān)系。

一、高考要求

（一）能根據(jù)給定直線和圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系。

（二）能解決圓的切線、直線被圓截得的弦長等直線與圓的綜合問題。

二、課前預(yù)習

（一）知識梳理

1.直線與圓的位置關(guān)系判斷方法

（1）幾何方法（d-r法）

直線l：Ax+By+C=0，圓C：（x-x ） +（y-y ） =r （r＞0）。

圓心C（x ，y ）到直線Ax+By+C=0的距離為d= 。

則：①相離?圳d＞r，②相切?圳d=r，③相交?圳d＜r。

（2）代數(shù)方法（△法）

直線l：Ax+By+C=0，圓C：x +y +Dx+Ey+F=0。

由Ax+By+C=0x +y +Dx+Ey+F=0消元，得到的一元二次方程的判別式為△，①相離?圳Δ＜0，②相切?圳Δ=0，③相交?圳Δ＞0。

2.圓的切線方程

（1）已知切線斜率k圓的切線有兩條。

（2）已知切線上一點，①點在圓上：有一條切線，②點在圓外：有兩條切線。

3.圓的弦長

設(shè)弦長為l，弦心距為d，半徑為r，則有l(wèi)=2 。（數(shù)形結(jié)合）

（二）熱身訓(xùn)練

1.過P（4，0）的直線l與圓x +y ＝8有兩個不同的交點，則直線l斜率k取值范圍-1＜k＜1。

變題：過P（4，0）的直線l與曲線y= 有兩個不同的交點，則直線l的傾斜角α的范圍α=0或 π＜α＜π。

2.已知直線5x-12y+a=0與圓x -2x+y =0相切，則切線方程為5x-12y+8=0或5x-12y-18=0。

3.已知圓（x-1） +（y-2） =4，則過點P（-1，5）的圓的切線方程x+1=0或5x+12y-55=0。

4.直線2x+y+3=0截圓x +y -6x-2y-15-0所得的弦長2 。

5.已知圓C的圓心與點P（-2，1）關(guān)于直線y=x+1對稱，直線3x+4y-11=0與圓C相交于A，B兩點，且|AB|=6，則圓C的方程x +（y+1） =18。（08天津卷）

三、課時學(xué)案

（一）例題精講

例1.若圓x +y -4x-4y-10=0上至少有三個不同點到直線l∶x+y+b=0的距離為2 ，則b的取值范圍-6≤b≤-2。

解析：由圓心（2，2），半徑3 ，則圓心到直線l的距離d≤ ，即 ≤ ，解之得-6≤b≤-2。

變題1：若圓x +y -4x-4y-10=0上有兩個不同點到直線l∶x+y+b=0的距離為2 ，則b的取值范圍-14＜b＜-6或-2＜b＜6。

解析：圓心到直線l的距離 ＜d＜5 ，

即 ＜ ＜5 ，解之得-14＜b＜-6或-2＜b＜6。

變題2：若圓x +y -4x-4y-10=0上至少有三個不同點到直線l∶y=kx的距離為2 ，則直線l的斜率的取值范圍2- ≤k≤2+ 。（06湖南卷）

解析：圓心到直線l的距離d≤ ，即 ≤ ，解之得2- ≤k≤2+ 。

例2.過點（ ，0）的直線l與圓x +y =4交于A、B兩點，當△AOB面積最大時，求直線l的方程。

解析1：（1）若直線l斜率不存在，則x= 。由x +y =4x= ，解得A（ ，1）、B（ ，-1），所以S = ×2× = 。

（２）若直線l斜率存在，設(shè)直線的方程為y=k（x- ），則圓心到直線l的距離d= ，|AB|=2 =2 ，所以S = d|AB|=

= ≤ =2。

當且僅當 =4- ，解之得k=± ，則直線l的方程為 ±y- =0。

解析2：設(shè)圓心到直線l的距離為d，且d∈（0， ），則|AB|=2 =2 ，所以S = d|AB|=d = ≤ =2。當且僅當d =4-d ，解之得d= ∈（0， ］。設(shè)直線l的方程為y=k（x- ），由d= = ，解之得k=± ，則直線l的方程為 x±y- 。

解析3：設(shè)∠AOB=θ∈［ ，π），S = |OA||OB|sin∠AOB=2sinθ。當θ= 時，S =2sin =2，此時d= ∈（0， ］。設(shè)直線l的方程為y=k（x- ），由d= = ，解之得k=± ，則直線l的方程為 x±y- 。

變題：過點（1，0）的直線l與圓x +y =4交于A、B兩點，當△AOB面積最大時，求直線l的方程。

解析：設(shè)圓心（0，0）到直線l的距離為d，且d∈（0，1］，則|AB|=2 -2 ，所以S = d|AB|=d = = 。由d∈（0，1］，當d=1時，（S ） = ，直線l的方程為x=1。

例3.已知平面區(qū)域x≥0y≥0x+2y-4≤0恰好被面積最小的圓及其內(nèi)部所覆蓋。（Ⅰ）試求圓的方程。（Ⅱ）若斜率為1的直線與圓C交于不同兩點A，B，滿足CA⊥CB，求直線l的方程。

解析：（1）由題意知此平面區(qū)域表示的是以O(shè)（0，0），P（4，0），Q（0，2）構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部，且△OPQ是直角三角形，覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓，故圓心是（2，1），半徑是 ，則圓C的方程是（x-2） +（y-1） =5。

（2）設(shè)直線l的方程是：y=x+b，因為 ⊥ ，所以圓心到直線l的距離是 ，即 = ，解之得b=-1± ，則直線l的方程是：y=x-1± 。

變題：已知平面區(qū)域y≥0x+y-2≥0x+2y-4≤0恰好被面積最小的圓及其內(nèi)部所覆蓋，試求圓的方程。

解析：由題意知此平面區(qū)域表示的是以M（2，0），P（4，0），Q（0，2）構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部，且△MPQ是鈍角三角形，覆蓋它的且面積最小的圓是以其最大邊PQ為直徑的圓，圓心是（2，1），半徑是 ，則圓C的方程是（x-2） +（y-1） =5。

四、小結(jié)

1.要注意數(shù)形結(jié)合，形數(shù)結(jié)合。

2.充分利用圓的性質(zhì)，圓與直線相切，①圓心到切線的距離=半徑，②圓心與切點的連線垂直切線；圓與直線相交設(shè)弦長為l，弦心距為d，半徑為r，則有l(wèi)=2 。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”