應用拉密定理求解三力平衡問題

摘要： 在高中物理的平衡問題中，三力平衡問題是重要的一種類型，其求解方法是多種多樣的，其中拉密定理是一種獨到的方法，能使求解過程簡捷明了，提高解題速度。

關鍵詞： 拉密定理 三力平衡 平衡狀態

在物體的平衡問題中，物體受三個非平行共點力而處于平衡狀態的問題是常見的一種類型，在求解此類問題時，常用的方法有正交分解法、力的合成法、相似三角形法等。除這些方法外，應用拉密定理來求解，是一種較獨特的方法。下面我們認識一下拉密定理，其內容表述為：物體受三個非平行共點力作用而處于平衡狀態，則各力大小與其對應角度正弦成正比。如下受力示意圖所示。

= =

由拉密定理可知，如求解的是三力平衡問題，且已知三力間的夾角，應用它來求解將會非常方便。

例1.一細繩一端固定在豎直放置的光滑圓環上的B點，另一端系一質量為m的小球于A點。小球穿過圓環，細繩與豎直方向夾角30度，如圖所示，求細繩的拉力和環對小球的彈力。

解：由題意，在題圖上作出小球受力示意圖，F ，F 即為所求。

由數學知識可求出三力間的夾角大小，則由拉密定理可得：

= =

∴F = mg，F =mg，方向如圖示。

例2.如圖所示，輕繩與輕彈簧共同懸掛一質量為m的物體成一定夾角而平衡，且AC、BC與豎直方向夾角分別為θ 和θ ，求輕繩和輕彈簧的彈力。

解：由拉密定理可知:

= =

F =

F =

例3.（2004廣東高考）用三根輕繩將質量為m的物體懸掛在空中，如圖所示，已知繩ac和bc與豎直方向的夾角分別為30度和60度，則ac繩和bc繩中的拉力分別為（）。

A. mg/2，mg/2

B.mg/2， mg/2

C. mg/4，mg/2

D.mg/2， mg/4

解：對m受力分析知，cd繩拉力大小為：

F =mg（1）

對結點加以受力分析如圖，

由拉密定理得：

= = （2）

∴F = mg/2，F =mg/2∴選A

例4.（2003年，全國高考理綜）如圖所示，一個半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O點為其球心，碗的內表面及碗口是光滑的，一根細線跨在碗口上，線的兩端分別系有質量為m 和m 的小球，當它們處于平衡狀態時，質量為m 的小球與O點的連線與水平線的夾角α=60°，則兩小球的質量之比m /m 為（）。

A. /3B. /3C. /2D. /2

解：作出m 和m 的受力示意圖，

由平衡條件：

T=m g（1）

由拉密定理：

= （2）

由（1）（2）式得：m /m = /3

∴選A

例5.（2008年，四川延考區高考）兩個可視為質點的小球A和B用質量可忽略的剛性細桿相連，放置在一個光滑的半球面內，如圖所示，已知小球A和B的質量之比 ，細桿長度是球面半徑的 倍。兩球處于平衡狀態時，細桿與水平面的夾角θ是（）。

A.45°B.30°C.22.5°D.15°

解：由題意，細桿長度為球面半徑的 倍，由數學知識知：

∠OAB=∠OBA=45°

∠AOB=90°

作a和b的受力示意圖。

由拉密定理：

= （1）

= （2）

由（1）（2）式得：

= = （3）

∴當θ=15°時，（3）式成立

∴選D

通過以上實例分析，可以看出應用拉密定理來求解已知夾角的三個非平行共點力平衡問題時較為方便，這也為我們求解平衡問題多了一種方法的選擇。當然，在選擇使用該方法時，要注意問題是否滿足條件，以避免不該發生的錯誤。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”