反思在解題中的應用

摘要： 數學技能的形成與能力培養都離不開數學解題。在教學過程中，有效地培養數學解題的能力，除了做好審題、制訂解題方案、解答表達等工作外，解題后的反思也是一個不可缺少的重要環節。解題本身不是學習的目的，而只是一種訓練手段。進行解題后的小結或反思，會有益于我們總結經驗，發現規律，形成技能技巧，從而把解題真正變成一種強有力的訓練手段。

關鍵詞： 數學解題 反思 積極意義

迅速提高數學解題能力，有諸多條件和因素。長期的學習經驗表明，不少學生在完成作業或進行大量解題訓練的過程中，普遍欠缺一個提高解題能力的重要環節：解題后的“反思”。何謂“解題反思”？一道數學題經過一番艱辛、苦思冥想解出答案之后，必須認真進行如下探索：命題的意圖是什么？考核我們哪些方面的概念、知識和能力？驗證解題結論是否正確合理，命題所提供的條件的應用是否完備？求解論證過程是否判斷有據，嚴密完善？本題有無其他解法？眾多解法中哪一種最簡捷？把本題的解法和結論進一步推廣，能否得到更有益的普遍性結論——舉一反三，多題一解？……如此種種，就是“解題反思”。許多學生完成作業，因為學習態度和心理狀態的不同，或者教師缺少必要的指導和訓練，大部分都缺少這一重要環節，未能形成良好的解題習慣、解題能力和思維品質，未能在更深和更高層次得到有效提高和升華。學習數學，也就只能登堂而未能入室。為了提高學生的解題能力，應該倡導和訓練學生進行有效的解題反思。

學生由于認知結構水平的限制，表現出對知識不求甚解，熱衷于大量做題，不善于解題后對題目進行反思，普遍欠缺一個提高解題能力的重要環節，也不善于糾正和找出自己的錯誤，缺乏解題后對解題方法、數學思維的概括，掌握知識的系統性較弱、結構性較差。通過解題后改進解題過程、探討知識聯系、知識整合、探究規律等一系列思維活動，學生的思維可在解題后繼續飛翔，“八方聯系，渾然一體，漫江碧透，魚翔淺底”，這是解題過程中更高一級的思維活動。為了讓學生思維繼續飛翔，提高解題能力，應該倡導和訓練學生進行有效的解題反思。

解題反思的積極意義有如下幾個方面：

1.積極反思，查缺補漏，確保解題的合理性和正確性。

解數學題，有時由于審題不確，概念不清，忽視條件，套用相近知識，考慮不周或計算出錯，難免產生這樣或那樣的錯誤，即學生解數學題，不能保證一次性正確和完善。所以解題后，必須對解題過程進行回顧和評價，對結論的正確性和合理性進行驗證。可是一些學生把完成作業當成是趕任務，解完題目萬事大吉，頭也不回，揚長而去，由此產生大量謬誤，應該引起重視，加以克制，引以為戒。如1.結論荒唐，引為笑柄；2.以特殊代替一般；3.臆造“定理”，判斷無據，以日常概念代替科學概念。以上常見的錯誤，不勝枚舉。因而，解題反思的積極意義及其重要性，必須引起師生在教學中的足夠重視。

2.積極反思，探求一題多解和多題一解，提高綜合解題能力。

數學知識有機聯系縱橫交錯，解題思路靈活多變，解題方法途徑繁多，但最終都能殊途同歸。即使一次性解題合理正確，也未必能保證一次性解題就是最佳思路，最優最簡捷的解法。不能解完題就罷手，如釋重負，應該進一步反思，探求一題多解、多題一解的問題，開拓思路，勾通知識，掌握規律，權衡解法優劣，在更高層次更富有創造性地學習、摸索、總結，使自己的解題能力更勝一籌。每一種解法可能用到不同章節的知識，這樣可以復習相關知識，掌握不同解法技巧，同時每一種解法又能解很多道題，然后比較眾多解法中對哪一種最簡捷、最合理？把本題的每一種解法和結論進一步推廣，同時既可看到知識的內在聯系、巧妙轉化和靈活運用，又可梳理出推證恒等式的一般方法和思路：從左到右、從右到左、中間會師、轉化條件等，善于總結，掌握規律，探求共性，再由共性指導我們去解決碰到的這類問題，便會迎刃而解，這對提高解題能力尤其重要。

3.積極反思、系統小結，使重要數學方法、公式、定理的應用規律條理化，在解題中應用自如、改進過程，尋找解題方法上的創新。

在問題解決之后，要不斷反思：解題過程是否浪費了重要的信息，能否開辟新的解題通道？解題過程多走了哪些思維回路，思維、運算能否變得簡捷？解題過程是否拘泥于思維定勢，照搬了熟悉的解法？通過這樣的不斷質疑、不斷改進，解題過程會更具有合理性、科學性、簡捷性。例1：求證：正四面體和正八面體相鄰兩側所成的二面角互補。此題有常規的解題思路：分別求出兩個多面體的二面角的值，再求和。這也是一般參考書上的解法。我們探索解題過程，總感覺這樣解題很苯拙，不能反映兩個多面體的巧妙結構。事實上，問題隱含了“結構”這個重要信息，那么，就可把“結構”作為切入點去探究問題。

4.重視知識的遷移和應用，探究問題所含知識的系統性。

解題之后，要不斷地探究問題的知識結構和系統性。能否對問題蘊含的知識進行縱向深入地探究？能否加強知識的橫向聯系？要把問題所蘊含孤立的知識“點”，擴展到系統的知識“面”。通過不斷的拓展、聯系，加強對知識結構的理解，進而形成認知結構中知識的系統性。

5.整合知識，創新設問。

要讓學生明白，問題與問題之間不是孤立的，許多表面上看似無關的問題卻有著內在的聯系，解題不能就題論題，要尋找問題與問題之間本質的聯系，要質疑為什么有這樣的問題？它和哪些問題有聯系？能否受這個問題的啟發。要將一些重要的數學思想、數學方法進行有效的整合，創造性地設問。讓學生在知識聯系和知識整合中，豐富認知結構中的內容，體驗“創造”帶來的樂趣，這對培養學生的創造思維是非常有利的。

6.探究規律，形成小結。

要對每個問題都要尋根問底，反思能否得到一般性的結果、有規律性的發現；能否形成獨到的見解、有自己的小發明。點滴的發現，都能喚起學生的成就感，激發學生進一步探索問題的興趣。長期的積累，更有利于促進學生認知結構的個性特征的形成，增加其知識的存儲量。

總之，教師應引導學生解題后不斷地對問題進行觀察分析、歸納類比、抽象概括，對問題中所蘊含的數學方法、數學思想進行不斷地思考并作出新的判斷，讓學生體會解題帶來的樂趣，享受探究帶來的成就感。長此以往，學生會逐步養成獨立思考、積極探究的習慣，并懂得如何學數學，這是學好數學的必要條件。