例析“函數的基本性質”學習中的難點與易錯點

摘 要： 本文作者以蘇教版高中數學教材為基礎，通過對函數基本性質這部分內容的考點和易錯點的分析，認為對基本概念認識不夠深入、運用不夠熟練，以及運算和邏輯推理能力的缺乏是導造成這部分內容相關題目正確率不高的原因，并對今后的教學方向提出了建議。

關鍵詞： “函數的基本性質” 例題 易錯點 難點

蘇教版高中數學教材的第二章函數概念與基本初等函數中，“函數的基本性質”這部分內容是本章的重點，也是學習的難點。筆者通過經典例題的解答，逐一對學生在對這部分內容的掌握和運用上經常出現的一些錯誤和難點加以剖析。

一、易錯點分析

1.對函數單調性的概念不清，導致對函數單調性的判斷出現偏差。

［例1］判斷函數y=（）的單調性。

解：原函數可以轉化為y=2，該函數在R上是增函數，∴y=（）是增函數。

2.對函數奇偶性定義的內涵理解不深，導致對函數在特定定義域上的奇偶性判斷出現錯誤。

［例2］判斷函數f（x）=（1-x）的奇偶性。

解：f（x）=（1-x）有意義時必須滿足≥0

∴-1＜x＜1。

即函數的定義域是｛x|-1≤x＜1｝，即函數定義域不關于原點對稱，因此該函數既不是奇函數也不是偶函數。

3.對函數奇偶性判斷的方法局限于定義而不夠靈活，導致判斷結果的錯誤。

［例3］判斷函數f（x）=ln（-x）的奇偶性。

解：解法一：∵f（-x）=ln［-（-x）］=ln（+x）

=ln=-ln（-x）=-f（x）

∴f（x）是奇函數。

4.對函數的單調性只能在函數的定義域內來討論這一點認識不深刻，導致增減區間判斷的錯誤。

［例4］函數y=的單調增區間是 。

解：y=的定義域是［-3，1］，又g（x）=3-2x-x在區間［-3，-1］上是增函數，在區間［-1，1］上是減函數，所以y=的增區間是［-3，-1］。

二、難點分析

1.函數的作圖。

函數的作圖有兩種需要注意：一類分段函數，另一類是特殊函數。下面給出兩道題目及其解法作為例子：

［例5］作出下列函數的圖像：y=|x-2|（x+1）。

解：當x≥2時，即x-2≥0時，

y=（x-2）（x+1）=x-x-2=（x-）-；

當x＜2時，即x-2＜0時，

y=（2-x）（x+1）=-x+x+2=-（x-）+。

所以y=（x-）- （x≥2）-（x-）+ （x＜2）。

［例6］作出下列函數的圖像：y=e。

解：當x≥1時，lnx≥0，y=e=x；

當0＜x＜1時，lnx＜0，y=e=，

所以y=x （x≥1） （0＜x＜1） 。

2.函數單調性定義的應用。

［例7］若f（x）=在區間（-3，+∞）上是減函數，求a的取值范圍。

解：設-3＜x＜x，f（x）-f（x）=-

=

=

=

=

由f（x）=在區間（-2，+∞）上是減函數

得f（x）-f（x）＞0

∴3a-1＜0?圯a＜。

3.函數奇偶性、單調性的證明。

［例8］函數f（x）在（-1，1）上有定義，f（）=-1，當且僅當0＜x＜1時f（x）＜0，且對任意x、y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（），試證明：（1）f（x）為奇函數；（2）f（x）在（-1，1）上單調遞減。

解：證明：（1）由f（x）+f（y）=f（），令x=y=0，得f（0）=0，令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（）=f（0）=0。∴f（x）=-f（-x）。∴f（x）為奇函數。

（2）先證f（x）在（0，1）上單調遞減。

令0＜x＜x＜1，則f（x）-f（x）=f（x）+f（-x）=f（）

∵0＜x＜x＜1，∴x-x＞0，1-xx＞0，∴＞0，

又（x-x）-（1-xx）=（x-1）（x+1）＜0。

∴x-x＜1-xx，

∴0＜＜1。

由題意知f（）＜0，

即f（x）＜f（x）。

∴f（x）在（0，1）上為減函數，又f（x）為奇函數且f（0）=0。

∴f（x）在（-1，1）上為減函數。

三、總結

由上面的例題分析可知，函數的基本性質部分內容的易錯點主要集中在對基本概念理解的深度上，而將已掌握的知識點綜合運用，用于解答各種綜合問題是這部分內容的難點所在，需要學生對概念的深刻理解和較強的運算、邏輯推理的功底，對函數的基本性質的教學也應當重點集中在這些方面。