逆用完全平方公式解題

完全平方公式的代數式表示為：(a±b)2=a2±2ab+b2。不難發現，逆用它，可把形如a2±2ab+b2的代數式化為形如(a±b)2的代數式。這種和差化積的思想方法，能使解題簡便易行。下面舉例介紹，供大家學習時參考。

一、求值問題

例1若x2+y2-4x+6y+13=0，則yx=。

解析一個等式含有兩個未知字母的求值問題，常常要把已知等式變形為兩個代數式的平方和為0的形式，然后再求出字母的值。

已知等式化為(x2-4x+4)+(y2+6y+9)=0，

所以(x-2)2+(y+3)2=0。

因為(x-2)2≥0，(y+3)2≥0，

所以(x-2)2=0，(y+3)2=0。

所以x=2，y=-3，yx=9。

說明為方便逆用完全平方公式，x2-4x必須加上一次項系數一半的平方，即加上4；y2+6y必須加上一次項系數一半的平方，即加上9。加上的這兩個數，正好等于13。在解題過程中，我們只需把13拆成4與9之和就可。

例2如果a、b、c滿足a2-6b=-15，b2-8c=-19，c2-4a=5，則a+b+c＝。

解析將這三個等式聯立成方程組求a、b、c的值，這是不可能求出的。若將它們左、右兩邊分別一起相加，合并成一個等式，則可絕處逢生。

解析將三個等式相加，得

(a2-6b)+(b2-8c)+(c2-4a)=-29，

所以(a2-4a+4)+(b2-6b+9)+(c2-8c+16)=0。

所以(a-2)2＋(b-3)2＋(c-4)2=0。

因為(a-2)2≥0，(b-3)2≥0，(c-4)2≥0，

所以a-2＝0，b-3＝0，c-4＝0。

所以a＝2，b＝3，c＝4，a+b+c＝9。

說明三個等式的條件比較分散，將它們相加變形后，比較集中，而且容易找到它們之間的內在聯系。這種化零為整的思想方法值得我們在解題中嘗試！

二、比較大小問題

例3如果a、b滿足等式x=a2+b2+２０， y=4(2b-a)，則x、y的大小關系是（）。

A. x≤yB. x≥yC. x＜y D. x＞y。

解析要比較 x、y的大小關系，直接比較困難，不妨考慮從這兩個數的差值入手。x-y＝(a2+b2+２０)-4(2b-a)

＝(a2+4a+4)+(b2-8b+16)

＝(a+2)2+(b-4)2，

因為(a+2)2≥0，(b-4)2≥0，

所以x-y≥0，x≥y。應選B。

說明在用差值方法比較兩個數或代數式的大小時，要注意：若差值大于0，前者必大于后者；若差值等于0，前者必等于后者；若差值小于0，前者必小于后者。

三、最值或取值問題

例4多項式x2+y2-6x+8y+7的最小值為。

解析要求一個多項式的最大值或最小值，常常要逆用完全平方公式，將這個多項式中含字母的部分變形為完全平方和的代數式。……