運用數學思想解題

一、數形結合思想

例1將n個邊長都為l cm的正方形按如圖所示的方法擺放，點A1，A2，……，An分別是正方形的中心，則n個這樣的正方形重疊部分(陰影部分)的面積和為 （）。

A. cm2 B. cm2 Ｃ. cm2D. ()n cm2

解析由于每個正方形重疊部分(陰影部分)的面積是整個正方形面積的，又每個正方形的面積為1 cm2，因此每個陰影部分的面積為cm2，由圖形可知共有n-1個陰影部分，故n個這樣的正方形重疊部分(陰影部分)的面積和為cm2。因此 應選C。

點評本題的圖形隱含了數的運算規律的特性，體現了數形結合的思想。

二、轉化思想

例2新定義一種運算：ab=，則23=。

解析由新定義運算可得：23＝=-1。

點評解答此類題，關鍵是按新定義運算，把陌生的問題轉化為我們所熟悉的問題來完成。

三、整體思想

例3己知直角三角形的兩直角邊為a，b且a+b=7，a2+b2=25，求三角形的面積。

解析要求三角形的面積，關鍵要求出ab的值，這里通過對條件變形可得到。

由于a+b=7，所以(a+b)2=a2+2ab+b2=49，又a2+b2=25，因此可得：ab=12，故三角形的面積為S=ab=×１２＝６。

點評本題視ab為一個整體，而不必要求出具體的a、b值，便可求出三角形的面積；本題若由條件求出a、b值，再求面積就顯得煩瑣。

四、方程思想

例4已知數據1，3，5，7，x的平均數為6，求x的值。

解析根據平均數公式可得：(1+3+5+7+x)=6，解得：x=14。

點評這里通過平均數公式構造方程，從而使問題獲解，體現了方程的數學思想。

五、特殊化思想

例5如果=2，則的值等于 （）。

A.B. 1C. D. 2

解析根據條件可取a=2，b=1則==。

故應選C。

點評本題把字母取一個具體的值，再代入求值，從而把分式的條件求值問題，轉化為一般的式子的求值問題，體現了特殊化的數學思想。