《復變函數論》課程的教學實踐

摘 要： 《復變函數論》是高等師范院校一門極其重要的數學專業課。本文作者從教材內容的處理、靈活運用教學方法、努力提高教學質量三個方面談了自身的教學實踐。

關鍵詞： 《復變函數論》 教材內容 教學方法 教學質量

《復變函數論》是高等師范院校數學系的一門專業基礎課，無論從知識結構的承前啟后還是從能力的培養和思維品質的提高等諸方面看，《復變函數論》的教學對師范生的培養都起著十分重要的作用。筆者從自身的教學實踐出發，談談自己在教學中的一些做法。

一、教材內容的處理

《復變函數論》這門課現行使用的教材有許多教學內容與中學教學內容重復（例如：復數的概念、復數的表示方法、復數的四則運算等），對于這些內容可安排學生自學，補講一些在中學數學中實際應用的內容，例如利用復數理論證明幾何問題，使學生牢固地掌握作為中學數學教師所必備的關于復變函數的基本理論和基本技能，畢業后對所學知識能得心應手地運用。教材中還有些內容與數學分析相近（例如：極限、連續、導數和級數等），教師應通過類比數學分析講復數理論、復變函數的微積分理論、刪去多值函數和支點等一些復雜問題，增加緒論內容，結合數學史闡述清楚復變函數論的形成過程、研究的對象、基本思想方法及其在近現代科學發展中的地位和作用，介紹這門學科現在科研的前沿，使學生對這門課的學習有較好的認識和學好的思想準備。

二、靈活運用教學方法

（一）利用類比方法教學。

復變函數就是自變量為復數的函數，復變函數論在眾多的數學分支中屬于函數論，它所研究的主要對象是在某種意義下可導的復變函數——解析函數。我們在《復變函數》教材中討論的是單復變函數的理論，因此《復變函數》是《數學分析》中一元實變函數的推廣又稱為復分析。《復變函數》作為《數學分析》在復數域的延拓，在知識結構、理論體系、研究方法等方面，二者都緊密相關。因此，在教學過程中我們要注重利用類比方法教學。

所謂類比法，是指通過對兩個對象類似之處的比較，由以往獲得的知識引出新的猜測的方法。人們通常所說的“舉一反三”、“由此及彼”就是類比方法。類比方法是一種創造性的思維方法，在教學中，類比的過程是培養學生創造性思維的過程。

復變函數論的許多概念和定理（例如:函數及其極限、連續、導數、積分、級數等概念），與數學分析中的概念和定理相類似。因此，在教學中我們應首先抓住這些概念或定理進行新、舊之間的比較。

1.極限概念的類比

實分析和復分析都是用極限的方法去研究函數的分析性質。極限概念是實分析和復分析中的一個十分重要的基本概念，掌握好極限的概念是學好復變函數論的基礎。學生應正確理解并熟練掌握極限概念的有關內容，利用實分析與復分析的相似及相異點，緊緊抓住實一元函數和實二元函數的極限概念進行對比。教師在對比中講述，學生在對比中思考，能獲得事半功倍的效果。

復變函數極限的概念，形式上和數學分析中一元函數極限的概念相同，即limf（x）=A或（x→x，x∈D）;limf

（二）激發學生的學習興趣，充分調動學生的學習積極性。

把一些抽象的概念形象化，舉出實例來刺激學生的學習興趣。例如：單連域、多連域的概念：一個區域B，如果在其中任作一條簡單閉曲線，而曲線的內部總屬于B，就稱為單連域。一個區域如果不是單連域就稱為多連域。為了幫助學生理解這兩個抽象的概念，可以舉一個這樣的例子：單連域好比一張完整無缺的報紙，而多連域則好比是這張報紙被剪了若干個洞。這樣，學生會很輕松地理解這兩個概念。

在課堂教學中教師可結合所授內容特點介紹一些數學史。數學理論的演變過程是一個讓人很感興趣的歷史，從中可以再現數學大師們的思考問題的方式，看到他們是如何探索真理的，從而啟發學生怎樣去思考問題。

（三）培養學生自學的能力。

《復變函數》作為《數學分析》在復數域的延拓，在知識結構、理論體系、研究方法等方面，二者都緊密相關。學生經過《數學分析》的完整學習，方可具備相當扎實的函數論知識，并具備一定的自學能力。因此，依據自主探索學習的基本理論，結合目前的教學現狀，在復變函數教學中教師可適合安排一定的教學內容讓學生進行自主探索學習，以便收到更好的教學效果，同時也便于不斷提高學生自主探究、自我建構知識的能力。例如，“復數”這節的內容大部分學生在中學階段都學過，“復平面上的點集”的內容與數學分析中平面點集的內容幾乎是一樣的，再講這些內容，既浪費時間，學生聽起來也不會感興趣。如果讓學生自學，然后教師提出一些問題讓學生去討論，去思考，他們會更集中精力去鉆研，從而收到更好的學習效果，并不斷地提高自學能力。

在課堂上我們應堅持“教師是主導，學生是主體”的教學原則，讓學生在教師幫助下逐漸消化、理解知識，引導學生對所學知識進行概括與總結，培養學生駕馭知識的能力，讓學生將知識不斷地經過自己頭腦的分析、綜合變成自己可以運用自如的知識體系。教師可以利用章節的小結、習題課等形式訓練學生對同一問題從不同的路徑和方向去思考，多角度多方向去觀察，盡量探索出多種解法，讓學生變“被動學習”為“主動學習”，從而掌握學習的主動性，并逐步培養學生一定的自學能力和提出問題、分析問題、解決問題的綜合能力。

三、努力提高教學質量

復變函數的教學過程是一個不斷摸索的開發過程，教師需要具備扎實的專業知識背景，在此基礎上教學手段的多樣化，教學內容的興趣化，以及教學器材的現代化都是提高教學效果的手段。只有充分調動教師的聰明才智、調動廣大學生的積極性和創造性，才能夠取得更好的教學效果。

教學中教師應注意把教書和育人融為一體。教師首先要以身作則，為人師表，在教學中認真處理好每一個問題，認真回答學生提出的每一個問題，在把握好接受性的原則下，對疑難問題不回避，以嚴謹治學的精神影響學生，培養學生勤奮讀書、刻苦鉆研、理論聯系實際、求實嚴謹的學風。其次對學生要嚴格要求，對于學生在學習中暴露出的一些不正確思想和做法，要及時指出，正確引導，把學生的注意力和精力引導到學習功課上來。只要能充分調動學生的學習積極性，任何學習上的困難都可以克服，復變函數的教學質量就可以得到提高。

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