巧用對稱變換解題

有些同學們在學習有關翻折、旋轉的幾何題時常常無從著手，究其原因是沒有把它轉換成對稱的問題，或沒有抓住位置變換中的不變量。通過對稱變換，對線段進行轉化，可以把已知條件相對集中到新的圖形中，這為應用定理或性質創造了條件，大大提高解題效率，現就此技巧舉例說明。

例1 如圖1，正方形ABCD中，M、N是AD、BC的中點，S正方形ABCD=1，沿BP折疊使C恰好落在MN上一點C′上。

（1）求MC′的長度。

（2）求證：以C′P為邊的正方形的面積為。

解析 （1）S正方形ABCD=1，正方形邊長為1，△BCP與△BC′P關于直線BP對稱。

∵BC′=BC=1 ∴C′N===，

∴MC′=MN-C′N=1-。

（2）由（1）知△BCC′為等邊三角形，由軸對稱性質知CC′垂直BP，PC=PC′，∠PBC=30°，

∴ PC′=BCtg30°=，

∴以PC′為邊的正方形面積為PC′2 =2=。

例2 如圖2，在長方形ABCD中，AB=12，BC=16，沿EF折疊使A與C重合，求EF的長度。

解析 該題關鍵詞句為“使A、C重合”，據對稱性質，EF垂直平分AC，這個題目可理解為：“作長方形ABCD的對角線AC的中垂線交AD、BC于E、F，求EF的長。”由題意知：A、C關于EF軸對稱， ∴ EF垂直平分AC。如作EM⊥BC于M， 則有∠EFM=90°-∠ACB=∠BAC，

∴ Rt△EFM~Rt△CAB，

∴ =。

又AC==20， EM=AB=12 ， ∴ =，得EF=15。

例3 如圖3，A、B是兩個蓄水池，都在河流l的同旁，為了方便灌溉農作物，要在河邊建一個抽水站，將河水送到A、B兩池。問該站建在河邊哪一點，可使所修的渠道最短？你能說明為什么嗎？

解析（1）畫點A關于直線l的對稱點A′。（2）連結A′B交l于點C。則抽水站建在點C處，可使所修的渠道最短。理由如下：

在直線l上另取一點C′，連結AC、AC′、A′C ′、C′B。根據軸對稱的性質，可知AC=A′C，AC′=A′C′。所以AC+CB=

A′C+CB=A′B。在△A′C′B中，因為A′B< A′C′+C′B，即AC+CB

例4 如圖4（1），已知平面直角坐標系中，A、B兩點的坐標分別為A（2，-3），B（4，－1）。

（1）若P（p，0）是x軸上的一個動點，求△PAB周長的最小值；

（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x軸上的兩個動點，求四邊形ABDC周長的最小值。

解析 （1）如圖4（2），通過構造Rt△ABE，容易求得AB的長為2，如果PA+PB最小，則△PAB的周長也最小。……