關(guān)于交換半群的NRG集

摘要本文對交換半群的NRG集的存在性進行了討論，通過在半群的不可逆元組成的集合中建立一個等價關(guān)系找到一個半群的不可逆生成集—此分類的全體代表團，然后，利用唯一分解摹群的性質(zhì)用反證法證明所得到的集為半群的一個NRG集，從而得到如下結(jié)論:半群是交換摹群，且是唯一分解的，則該半群中存在NRG集。

關(guān)鍵詞NRG集 半群 唯一分解

中圖分類號:O1文獻標識碼:A

設(shè)R是環(huán)，S為半群，令R[S]為所有有限形式和∑rss(其中rs∈R，s∈S)組成的集合，并規(guī)定其中的運算為:(1)加法:∑rss+∑r'ss=∑(rs+r's)s;(2)乘法:∑rss·∑rtt=∑rsrtst，則(R[S]，+，·)構(gòu)成一個環(huán)，稱為半群S上關(guān)于環(huán)R的半群環(huán)，簡記為R[S].半群的完全不可逆生成集對于研究半群的原子性和鏈條件都是一個很重要的概念，本文將對其存在性給出一個結(jié)論。

定義交換半群的一個子集稱為半群S的一個RG集，如果下面兩個條件成立:

(1)S1S\\U(S)，

其中U(S)為S的所有可逆元組成的集合;

(2)S\\U(S)=+U(S)，即t∈S\\U(S)，

存在t1∈，g∈U(S)，使得t=t1+g

若S1是半群S的一個RG集，且滿足下面條件，

則稱S1為半群S的一個NRG集。

定理1設(shè)D是整環(huán)，r1，r2∈D，則(r1)(r2)

當且僅當Er∈D，r不可逆，使r1=rr2.

(把此定理中的“整環(huán)D”換成“交換可消摹群S”時，

引理依然成立)

證明必要性，設(shè)(r1)(r2)，則Er∈D，使r1=rr2.若r可逆，則r1r-1=r2，從而(r2)(r1)，這與(r1)(r2)矛盾，故r不可逆.

充分性，設(shè)Er∈D，r不可逆，使r1=rr2.

則(r1)(r2).若(r1)=(r2)，

則Er'∈D，使r2=r'r1，

從而r1=rr2 =r1=rr'r1.

因D為整環(huán)，故rr'=1，即r可逆，這與r不可逆矛盾。

因此(r1)(r2)成立。

引理2(推論1)設(shè)D是整環(huán)，S是交換無撓可消摹群，rs∈D[S]，則rs是可逆元當且僅當r在D中可逆，且s在S中可逆.

定理3D[S]滿足a.c.c.p.的必要條件是:環(huán)D滿足a.c.c.p.且半群S滿足a.c.c.p.

證明用反證法，假設(shè)D不滿足a.c.c.p，則在D中有嚴格升鏈:

(r1)(r2)…

由定理1知，i，Er'i+1∈D，r'i+1在D中不可逆，

使ri=r'i+1 ri+1，i=1，2，3…從而rie=ri+1r'i+1e=ri+1e r'i+1e.

而由引理2知r'i+1e在D[S]中不可逆，

故由引理1知在D[S]中，有(rie)(ri+1e)，i=1，2，3….

即在D[S]中有嚴格升鏈(rie)(r2e)…，

這與D[S]滿足a.c.c.p.矛盾。

假設(shè)S不滿足a.c.c.p.，則在S中有嚴格主理想升鏈:

(s1)(s2)…

由定理1知，i，Es'i+1∈S，s'i+1在S中不可逆，

使si=s'i+1 si+1，i=1，2，3…，從而在D[S]中有

1·si=1·s'i+1 si+1=.1·s'i+1·1· si+1

而由引理2知1·s'i+1在D[S]中不可逆，

故在D[S]中有(1·si)(1·si+1)，i=1，2，3…，

即在D[S]中有嚴格主理想升鏈:

(1·s1)(1·s2)…

這與D[S]滿足a.c.c.p.矛盾.

因此，D[S]滿足a.c.c.p.的必要條件是D滿足a.c.c.p.，且S滿足a.c.c.p.

定理4設(shè)(S，+)是交換摹群，且是唯一分解的，則S在中存在NRG集。

證明設(shè)T1為S中所有不可約元組成的集合。因為S是唯一分解的，可以證明S\\U(S)=:

實際上，對任意t1∈S\\U(S)，由唯一分解的定義即知t能唯一的分解為S中有限個不可約元的積，

從而，t∈，即得S\\U(S)=.

在T1中定義關(guān)系~:a~b當且僅當存在c∈U(S)，

使得b=a+c。

則顯然~是T1中的一個等價關(guān)系.由此決定T1的一個分類。

設(shè)此分類的全體代表團為T，則對任意t∈T1，存在t'∈T，c∈U(S)，使得t=t'+c，

反之，t'∈T，c∈U(S)，有t'+c∈T1。

因此，T1=T+U(S)，

從而，S\\U(S)===+U(S).

由定義即知T是S的一個RG集.

下面證明T是NRG集.用反證法:

假設(shè)T不是NRG集，則存在t∈，以及0≠g∈U(S)，使得t+g∈.

由于t∈，故存在T中的一組元u1，u2，…，un，

使得t=u1+u2+…+un，因為S是唯一分解的，所以n有限.

同樣，由于t+g∈，故存在T中的一組元v1，v2，…，vm，

使得t+g=v1+v2+…+vm，即t=u1+u2+…+un=(下轉(zhuǎn)第189頁)(上接第187頁)v1+v2+…+vm-g.

由于u1，u2，…，un，v1，v2，…，vm，皆為S的不可約元，而g可逆，由S的唯一分解性知:n=m，且適當調(diào)整下標的次序后可得

ui=vi-gi，i=1，2，…，n

其中g(shù)i∈U(S)且g1+g2+…+gn=g.

但是ui，vi∈T，由T的構(gòu)成知gi=0，i=1，2，…，n

從而，g=g1+g2+…+gn=0.

這與假設(shè)g≠0矛盾，因此T是S的一個NRG集。

參考文獻

[1]GilmerRobert，CommutativeSemigroupRings[M].Chicago:TheUniversityofChicagoPress，1984.171～189.

[2]馬晨江.半群環(huán)原子性的一個充要條件[J].三峽大學(xué)學(xué)報，2003.25(6):555～556.