謹防導數應用中的負遷移

摘要學習過程中，合理并正確運用“遷移”可以極大地提高學習的效率，但運用不當就會產生“負遷移”，使學習過程受阻。本文分析了在導數應用的學習中常會出現的幾種“負遷移”，以期引起學習者的注意。

關鍵詞導數應用 負遷移 羅必達法則

中圖分類號:O13文獻標識碼:A

教育心理學認為，學習遷移是指一種學習對另一種學習的影響，或者說將習得的經驗改變后運用于新情境。遷移有正遷移、負遷移之分，凡是一種學習對另一種學習起促進作用都叫正遷移，凡是一種學習對另一種學習起干擾或抑制作用都稱負遷移。在學習中，合理并正確運用正遷移能夠幫助我們利用已有的知識、技能和思維方法去學習新知識，掌握新技能，從而提高解決新問題的能力。但在學習的過程中，如果對新舊知識之間的聯系與區別缺乏深入細致的研究，就會產生“負遷移”，就會導致我們的學習過程受阻。

高等數學中，導數的引入為我們提供了一個有力的工具。利用導數，我們可以解決“求切線、求極限、研究函數的性態、求某些冪級數的和函數”等很多問題，并且通常會比傳統方法來得更簡捷明快。但若不加研究、思考，一味“求導”，常常會犯錯誤。

1利用導數求曲線的切線時

例1過點(2，0)，求與曲線y=相切的切線方程

錯解:設所求切線的斜率為k，則k=y'|x-2=|x=2=

∴所求切線方程為y-0=(x-2) 即x+4y+=0

錯因分析:導數f'(x)的幾何意義是曲線y=f(x)上點(x0，f(x0))處切線的斜率，顯然利用導數求切線的斜率很方便，但這里點(x0，f(x0))必須是切點，并非切線上任何一點處的導數都可以作為斜率，這正是錯解的原因。

正解:設切點為(x0，y0)，切線斜率為k

則y0=，k=y'|x=x0= -

∴切線方程為y-=-(x-x0)

又切線過(2，0)，代入上式得0-=-(2-x0)解得x0=1

從而切點為(1，1)，切線斜率為k=-1

∴所求切線方程為y-1=-1(x-1)即x+y-2=0

例2求曲線y=在點(0，0)處的切線

錯解:∵==∞

依導數的定義y'|x=0不存在

∴曲線y=在點(0，0)處的切線不存在

錯因分析:利用導數求切線的斜率時，前提是切線的斜率要存在。因為函數在某點可導只是相應曲線在該點存在切線的充分條件，而非必要條件。當曲線y=f(x)在x0處不可導時，切線的斜率不存在，但切線仍可能存在，這時需用切線的定義等方法確定切線方程。

正解:如圖，易知曲線y=在點(0，0)處的割線OA的極限位置存在，即與Y軸重合的直線

∴依切線的定義所求切線方程為x=0

2利用導數求未定式的極限時

例3求

錯解:利用羅必達法則

原式====1

錯因分析:羅必達法則是處理未定型極限的重要方法，這也是導數的一個重要應用，但應引起注意的是，羅必達法則只能直接應用于“”或“”的極限類型，如果所求極限不是這種類型，就不能使用羅必達法則。事實上，本題目利用一次羅必達法則之后的極限不再是“”型，而是“”型，所以，再用羅必達法則就會得出錯誤的結果。

正解:利用羅必達法則

原式=

∵(ex+cosx)=1(xcosx+sinx)=0

∴原式=∞

例4求極限

錯解:這是“”型極限，利用羅必達法則

原極限==

∵cos不存在 ∴原極限不存在

錯因分析:雖然當x→0時，是“”型極限，但利用一次羅必達法則之后得到的極限不存在，這時我們稱羅必達法則失效。由于羅必達法則的條件只是充分的，并非必要的，所以羅必達法則失效時，極限仍可能存在。這也說明求未定型的極限時，我們不能完全依賴羅必達法則，失效時，不妨試試其它的方法。

正解:原極限====0

3利用導數研究函數的性態時

例5若f'(x0)>0，則在x0的某鄰域內，f(x)必為單調遞增的函數。對嗎?

錯解:對

錯因分析:我們已經體會到，利用導數符號判定函數單調性非常簡捷，但要注意，y=f(x)在(a，b)可導條件下，必須對x∈(a，b)，有f'(x)>0，我們才能推出y=f(x)在(a，b)單調增加的結論，而不能由一點x0∈(a，b)的導數的符號，去推斷y=f(x)在(a，b)內的單調性。

正解:不對

如在x0=0處，依導數的定義有

而當x≠0時，f'(x)=1+4xsin-2cos

在x1=(k∈z)處，f'(x1)=1+>0

在x2=(k∈z)處，f'(x2)=-1<0

又當k→∞時，x1→0x2→0

說明在x0=0的任何鄰域內，f(x)的取值有正有負

∴f(x)在x0=0的任何鄰域內都不是單調的。

例6有人認為，如果當x>0時，f'(x)>g'(x)

則x>0時，必有f(x)>g(x)，這種說法正確嗎?

錯解:正確

錯因分析:雖然f'(x)>g'(x)說明在同一點處函數f(x)的增長率比函數g(x)的增長率要大，但當我們利用導數比較兩個函數的大小時，還必須考慮兩個函數起始點處函數值的大小這個因素，如果f(x)在x=0處的起始值比g(x)的起始值小，就不能保證對x>0，都有f(x)>g(x)成立，如下圖。

正解:不正確

4利用導數求某些冪級數的和函數時

例7求冪級數的和函數

錯解:先求出冪級數的收斂域，即和函數的定義域為[-1，1]

設和函數

則逐項求導兩次:

對上式再取0到x的積分得:

錯因分析:對一般冪級數，即使收斂，求其和函數也非易事，但對某些特殊的冪級數就可以較容易地利用冪級數的運算如逐項求導獲得它們的和函數。只不過逐項求導后的冪級數與原冪級數相比，在收斂區間端點處的斂散性可能發生變化，一旦有變化，端點處的和就要單獨考慮。錯解的原因就在于只觀察到通過兩次求導后易于求和，而沒有注意到兩次求導后，級數在端點x=-1處由收斂變發散，對x=-1處需要代入原冪級數求和。

正解:先求出冪級數的收斂域，即和函數的定義域為[-1，1]

經過兩次求導和兩次積分后得:

導數的應用還有很多方面，我想，不論導數應用在哪個方面，分析問題時，著眼點都不應該只放在“求導”上，不應該只是把“求導”簡單地“遷移”過去，而不考慮問題本身，致使產生錯誤。學習過程中產生“負遷移”，這是我們不愿意看到的。

參考文獻

[1]蘇建祥.謹防切線概念的負遷移.數學通報，2005(6).

[2]劉培進.焦萬蕾.高等數學一點通.山東大學出版社，2002.1.

[3]同濟大學應用數學系.高等數學習題選解(下).高等教育出版社，2000.

[4]盛祥耀.高等數學輔導.高等教育出版社，2002.10.