數學模型方法探究

數學模型方法，不僅是處理數學理論問題的一種經典方法，而且還是處理科技領域中各種實際問題的一般數學方法。現代電子計算機的廣泛應用，使得數學模型方法已經廣泛應用于自然科學與社會科學的一切領域。馬克思曾說：“一門科學只有成功地運用數學時，才能達到了完善的地步。”如今數學在發展高科技、提高生產力及加強系統管理科學等方面的重要性已日益被人們所認識。新課程實施后，數學模型是貫穿于整個高中數學課程中的重要內容，這些內容雖不單獨設置卻滲透在每個模塊或專題中。下面我就對數學模型的概念、類別和缺點、在初等數學中應用及建模能力的培養談談一些看法。

一、數學模型的概念

數學模型是針對或參照某種事物系統的特征或數量相依關系，采用形式化的數學語言，概括或近似地表述出來的一種數學結構。這種數學結構是借助于數學概念和符號刻畫出來的某種系統的純關系結構，所以在數學模型的形成過程中，已經用了抽象分析法，可以說抽象分析法是構造數學模型的基本手段。從廣義上講，數學中的各種基本概念如實數、向量、集合等可叫做數學模型，因為它們是以各自相應的實體為背景加以抽象出來的最基本的數學概念，這種可稱為原始模型。如例1：自然數1、2、3、4…n是用來描述離散型數量的模型；例2：每一個代數方程或數學公式也是一個數學模型，如ax +bx+c=0。但狹義的解釋，只有那些反映特定問題或特定的具體事物系統的數學關系結構才叫數學模型。一般的，在應用數學中，數學模型都作狹義講，構建數學模型的目的就是為了解決實際問題。

二、數學模型的類別

1.按照建立模型的數學方法進行分類，如初等數學模型、幾何模型、規劃模型等。

2.按模型的表現特性，可分為確定性模型與隨機模型、靜態模型與動態模型、線性模型與非線性模型、離散模型與連續模型。

3.按照建模目的分，有描述型模型、分析模型、預報模型、優化模型、決策模型、控制模型等。

三、數學模型的缺點

1.模型的非預制性。實際問題各種各樣，變化萬千，這使得建模本身常常是事先沒有答案的問題，在建立新的模型的過程中，甚至會伴隨著新的數學方法或數學概念的產生。

2.模型的局限性。首先模型是現實對象簡化、理想化的產物，所以一旦將模型的結論用于實際問題，那些被忽視的因素必須考慮，因此結論的通用性和精確性只是相對的。另外，由于人們認識能力和數學本身發展水平的限制，有不少實際問題很難得到有實用價值的數學模型。

四、建模的步驟

建模過程有哪些步驟與實際問題的性質、建模的目的等有關，下面我們先看兩個例子：

例一：家用電器一件，現價2000元，實行分期付款，每期付款數相同，每期為一個月，購買后一個月付款一次，再過一個月又付款一次，共12次，即購買一年后付清，若按月利率8‰，每月復利計算一次，那么每期應付款多少？

這是一道關于分期付款的實際應用題，我們要求解就必須構建數學模型。通過分析，問題體現出的等量關系為分期付款，各期所付的款及各期所付的款到最后一次付款時所生的利息合計，應等于所購物品的現價及這個現價到最后一次付款時所生的利息之和。因此，設每期應付款為x元，那么，到最后一次付款時，

第一期付款及所生利息之和為x×1.008 ，

第二期付款及所生利息之和為x×1.008 ，

第三期付款及所生利息之和為x×1.008 ，

……

……

第十一期付款及所生利息之和為x×1.008，

第十二期付款及所生利息之和為x，

而所購電器的現價及其利息之和為2000×1.008 ，

由此x×（1+1.008+1.008 +…1.008 ）=2000×1.008 ，

由等比數例求和公式得：

∴x≈175.46（元）

也就是每期應付款175.46元。

例二：關于物體冷卻過程一個問題：設某物體置于氣溫為24℃的空氣中，在時刻t=0時，物體溫度為u =150℃，經過10分鐘后物體溫度變為u =100℃，試確定該物體溫度u與時間t之間的關系并計算t=20分鐘時物體的溫度。

為了解決此問題就要構造一個數學模型，首先由于該問題涉及必然性現象，故要選取一個確定性數學模型。又為了反映物體冷卻過程這樣一個物理現象，還必須應用牛頓冷卻定律：在一定溫度范圍內，一個物體的溫度變化率恒與該物體和所在介質之溫差成正比。在該問題里，物體溫度u應是時間變量的連續函數，記為u=u（t）。對初始溫度u 而言，溫差為u -u （u 為空氣介質溫度）。我們又知道，應變量（函數）的變化率可用導數概念來表述，于是物體冷卻過程（現實原型）的數學模型就是如下形式的微分方程：

=-k（u-u ），k為比例常數，在具體問題里可確定下來。

具體問題要求出函數關系u=u（t）的顯式表示。易得

log （u-u ）=-kt+c

∴u-u =A#8226;e ，其中A為常數，代入t=0時，u=u ，則u -u =Ae°=A，

∴u=（u -u ）e +u 這就是方程解。

有了一般模型，只要把實際問題里的具體數據一一代入即可。

100=（150-24）e +24

∴k=0.051

因此對具體問題有特殊模型為u=24+126e ，將t=20代入則得u（20）=24+40=64答案即為64℃。

所以我們建立數學模型的步驟可以歸納如下：

模型準備：首先要了解問題的實際情境，情況明白才能方法正確。總之，要做好建模的準備工作。

提出問題：通過恰當假設，將問題進行簡化。

模型構成：根據分析對象的內在規律和適當工具，構造各個量（常量和變量）之間的等式（或不等式）關系或其它數學結構。建模時應遵循的一個原則是，盡量采用簡單的數學工具，這樣才有利于更多的人了解和使用。

模型求解：可以采用解方程、邏輯運算、數值計算等各種傳統方法，也可使用近代的數學方法如計算機技術等。

模型檢驗：把數學上分析的結果翻譯回到實際問題，并用實際的現象、數據與之比較，檢驗模型的合理性和適用性。若合乎則得出結果：若不合乎實際則應重新建模，直到檢驗結果合乎實際為止。

四、有關數學建模能力培養的建議

在分析了數學建模的物點、過程之后，我們知道用數學模型解決實際問題首先是用數學語言表述問題，即構造模型，這就需要有廣博的知識、足夠的經驗、豐富的想象力和敏銳的洞察力。

1.教師應努力成為數學建模的先驅者，根據教學內容和學生的實際情況提出一些問題供學生選擇，如關于哥尼斯堡七橋問題；或者提供一些實際情境，引導學生提出問題，如銀行的分期付款問題、公平的席位分配、傳染病的隨機感染、線性規劃等問題。特別要鼓勵學生從自己生活的世界中發現問題，提出問題。

2.數學建模可采取課題組的學習模式，教師應引導學生學會獨自思考，分工合作，交流討論，互相幫助。

3.數學建模活動中應鼓勵學生使用計算機、計算器。

4.教師應指導學生完成數學建模報告，并及時給出評價，評價內容應堅持創新性、現實性、真實性、合理性、有效性，這幾個方面不必追求全面，只要有一項做得好就應該予以肯定。

總之，數學建模可以看成一門藝術，藝術在某種意義下是無法歸納出幾條準則或方法的，一名出色的藝術家需要大量的觀摩和前輩的指導，更需要自身實踐，愿我們的教師增強建模意識，激發學生對數學建模的興趣，為使其今后具備較高的建模能力而努力。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”