初等數(shù)學(xué)背景下的高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)教學(xué)探析

摘要: 高中數(shù)學(xué)教材中已有導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，高等數(shù)學(xué)中也有《導(dǎo)數(shù)》這一重要的章節(jié)。本文就這一部分內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)中的聯(lián)系與區(qū)別進(jìn)行了分析。

關(guān)鍵詞: 導(dǎo)數(shù)初等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)

導(dǎo)數(shù)的概念、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的四則運算、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等相關(guān)知識，在高中階段教師已清晰并詳細(xì)地對學(xué)生進(jìn)行了講解。這些知識難度不大，特別是在學(xué)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用時，比如用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，學(xué)生會覺得這種方法較高一學(xué)習(xí)的單調(diào)性的判斷方法更簡單。高等數(shù)學(xué)的第二章《導(dǎo)數(shù)》的部分知識在高中數(shù)學(xué)教材中也有。因此，高等數(shù)學(xué)教師應(yīng)該處理好這些重復(fù)點的講解，否則學(xué)生會感覺所學(xué)知識與中學(xué)大致相同。例如:導(dǎo)數(shù)概念引入的兩個實例學(xué)生在中學(xué)已經(jīng)學(xué)過，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中教師可以把它放在極限的應(yīng)用中簡單地講解，不需要在講解導(dǎo)數(shù)概念時重復(fù)講解。我從以下幾方面談?wù)勥@一部分內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)中的聯(lián)系與區(qū)別。

1.導(dǎo)數(shù)知識產(chǎn)生的背景

17世紀(jì)上半葉，在文藝復(fù)興后的資本主義生產(chǎn)力的刺激下，自然科學(xué)開始邁入綜合與突破的階段。1608年，荷蘭眼鏡制造商里帕席發(fā)明了望遠(yuǎn)鏡，后來伽利略發(fā)明了第一架天文望遠(yuǎn)鏡。望遠(yuǎn)鏡的發(fā)明不僅把天文學(xué)推向了新的高潮，而且促進(jìn)了光學(xué)的研究。1619年，開普勒發(fā)表了行星運動定律:行星運動的軌道是一個橢圓，太陽位于該橢圓的一個焦點;太陽到行星的矢徑在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等;行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方與其橢圓軌道的半長軸的立方成正比。1638年，伽利略出版了《關(guān)于兩門新科學(xué)的對話》提出了自由落體定律、動量定律。同時，他發(fā)現(xiàn)彈道的拋物線性質(zhì)，并斷言炮彈的最大射程在發(fā)射角為45度時方能達(dá)到。在這些科學(xué)發(fā)展的同時，微分學(xué)的基礎(chǔ)問題成為當(dāng)時人們關(guān)注的問題:確定非勻速運動物體的速度與加速度和瞬時變化率關(guān)系的研究;在望遠(yuǎn)鏡的光程設(shè)計中，需要確定透鏡曲面上任一點的法線，這就需要數(shù)學(xué)領(lǐng)域提供求任意曲線的切線的方法;確定炮彈的最大射程和尋求行星軌道的近日點與遠(yuǎn)日點，需要函數(shù)極大值與極小值問題的一般求法。當(dāng)時，大批科學(xué)家尋求解決這些問題的數(shù)學(xué)方法，也取得了一些成果，比如:費馬求極大值、極小值的方法，笛卡爾“圓法”等。

2.一些導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的證明

對于對數(shù)與指數(shù)函數(shù)等導(dǎo)數(shù)公式，中學(xué)教材中沒有給出明確的證明。在高等數(shù)學(xué)教材中，在學(xué)生學(xué)了隱函數(shù)和反函數(shù)的求導(dǎo)法則后，教材給出了證明，中學(xué)教材中沒有涉及的一些初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式也給出了相應(yīng)的證明。這樣就給出了完整的導(dǎo)數(shù)公式，可以為學(xué)生的專業(yè)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，這也是高等數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)。

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中函數(shù)的單調(diào)性判斷、極值，最值的求解方法在中學(xué)階段都僅僅是通過具體事例的結(jié)果歸納出一般的結(jié)論。作為導(dǎo)數(shù)概念與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用之間的橋梁——中值定理，學(xué)生若能應(yīng)用它，就可以完成這些問題的證明，從而真正弄清楚一些問題的實質(zhì)。

3.導(dǎo)數(shù)知識在各專業(yè)中的應(yīng)用

當(dāng)今社會，分析的定量化、管理的科學(xué)化，促使很多領(lǐng)域都必須以數(shù)學(xué)知識方法為基礎(chǔ)。學(xué)生學(xué)了導(dǎo)數(shù)的概念與應(yīng)用之后，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生把所學(xué)知識與具體專業(yè)結(jié)合起來，這樣才能達(dá)到高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真正目的。

比如用導(dǎo)數(shù)概念去理解經(jīng)濟學(xué)中的一些概念。導(dǎo)數(shù)概念在經(jīng)濟學(xué)中的一個重要應(yīng)用為邊際分析，利用導(dǎo)數(shù)研究變量的邊際變化的方法叫做邊際分析方法。具體方法如下:設(shè)生產(chǎn)某種商品的成本函數(shù)為C(x)，當(dāng)產(chǎn)量增加△x時，成本相應(yīng)地增加△C=C(x+△x)-C(x)，■=■就為增加的商品平均成本，即商品量的變化導(dǎo)致成本變化的平均變化率。令△x→0，■■稱作商品在產(chǎn)量為x時的邊際成本。用導(dǎo)數(shù)的概念來理解它，邊際成本也就是成本函數(shù)在點x處的導(dǎo)數(shù)。邊際成本反映了商品量為x時成本的瞬時變化率。它的經(jīng)濟意義是邊際成本近似等于產(chǎn)量為x時再生產(chǎn)一個商品所需要的成本。設(shè)生產(chǎn)某種商品的收益函數(shù)為R(x)，利潤函數(shù)為P(x)，同樣的，稱■■為邊際收益，稱■■為邊際利潤，它們分別是收益函數(shù)和利潤函數(shù)在x處的導(dǎo)數(shù)。同樣的，它們的經(jīng)濟意義分別為邊際收益近似等于產(chǎn)量為x時，再生產(chǎn)一個商品所增加或減少的收益和邊際利潤近似等于產(chǎn)量為x時，再生產(chǎn)一個商品所增加或減少的利潤。從以上的經(jīng)濟意義來看，當(dāng)邊際成本小于邊際收益時產(chǎn)量增加，反之，則產(chǎn)量減少。很明顯，商品的最佳產(chǎn)量是當(dāng)邊際成本和邊際收益相等時的數(shù)量。以這樣一個例子為例:假設(shè)某商品的成本函數(shù)和收益函數(shù)為C(x)=3+2■萬元、R(x)=■萬元，那么邊際成本和邊際收益分別為■、■。如果產(chǎn)量為4百噸時，邊際成本和邊際收益為0.5萬元、0.2萬元。那么，此時再增加1百噸商品，邊際成本和邊際收益變?yōu)?.45萬元、0.14萬元，顯然增加產(chǎn)量是不可取的。

總之，教師在進(jìn)行《導(dǎo)數(shù)》這一部分教學(xué)時，應(yīng)該弄清學(xué)生已掌握的知識和高等數(shù)學(xué)在這一部分的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目的，這樣才能使學(xué)生才學(xué)有所獲，學(xué)有所用。

參考文獻(xiàn):

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