《二次函數(shù)的圖像及其應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)

● 教材分析

二次函數(shù)是最重要的初等函數(shù)之一，中學(xué)數(shù)學(xué)的很多問題最后都要?jiǎng)潥w為二次函數(shù)處理。二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解決二次函數(shù)問題的關(guān)鍵。靜態(tài)的圖像不便于揭示二次函數(shù)變化的規(guī)律，信息技術(shù)的引入正好可以幫助學(xué)生解決這一問題。

● 學(xué)生分析

學(xué)生在初中已學(xué)過二次函數(shù)的基本知識(shí)，到高中要繼續(xù)應(yīng)用這些知識(shí)解決與二次函數(shù)有關(guān)的問題。含參數(shù)的二次函數(shù)問題，尤其是含參數(shù)的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)難點(diǎn)。利用操作簡(jiǎn)便的幾何畫板軟件，可以幫助學(xué)生找到參數(shù)變化引起函數(shù)圖像變化的規(guī)律，從而突破難點(diǎn)。

● 教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與能力目標(biāo):通過探究二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的參數(shù)a、b、c 的變化對(duì)圖像形狀的改變，掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，并能應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決含參數(shù)的二次函數(shù)在給定范圍內(nèi)的最值問題。

過程與方法目標(biāo):利用幾何畫板軟件搭建一個(gè)“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”，利用計(jì)算機(jī)超強(qiáng)的計(jì)算功能和畫圖功能，在短時(shí)間內(nèi)完成大量運(yùn)算和作圖，從中探究數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在規(guī)律。從而達(dá)到理解、掌握、運(yùn)用知識(shí)的目的;滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想。

情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo):學(xué)生在自主學(xué)習(xí)的過程中，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心和積極性，培養(yǎng)不斷發(fā)現(xiàn)、探索新知的精神，提高觀察問題、分析問題的能力，增強(qiáng)勇于戰(zhàn)勝困難的勇氣。同時(shí)，增強(qiáng)應(yīng)用信息技術(shù)的能力和意識(shí)。

● 教學(xué)重點(diǎn)

探究參數(shù)a、b、c的變化對(duì)函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像的影響。

● 教學(xué)難點(diǎn)

含參數(shù)的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題。

● 工具資源

設(shè)計(jì)課件以網(wǎng)頁形式呈現(xiàn)，交互性強(qiáng)，學(xué)生可以根據(jù)課件設(shè)計(jì)的步驟逐步深入學(xué)習(xí)，制作了“幾何畫板課件Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ”供學(xué)生選用，運(yùn)用搭建的“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”(即提供的幾何畫板平臺(tái))，自主探究，突破難點(diǎn)，提高分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)自信心和實(shí)踐能力。

● 設(shè)施環(huán)境

網(wǎng)絡(luò)教室環(huán)境，學(xué)生人手一機(jī)。

● 教學(xué)過程

1.復(fù)習(xí)引入

師:二次函數(shù)y=2x2的圖像與y=-2x2，以及與y=-x2的圖像之間的關(guān)系是怎樣的?

生:開口方向、開口大小不同。

師:打開幾何畫板課件(I)，利用軟件畫出上述函數(shù)圖像(如圖1)，進(jìn)行檢驗(yàn)，并歸納得出x2前面系數(shù)的變化對(duì)圖像的影響。

生:x2前面系數(shù)的變化影響拋物線的開口方向和開口的大小。變化規(guī)律是:系數(shù)為正，開口向上，系數(shù)為負(fù)，開口向下;系數(shù)的絕對(duì)值越大，開口越小，反之則越大。

設(shè)計(jì)意圖:復(fù)習(xí)初中已學(xué)過x2前面系數(shù)的變化對(duì)圖像的影響，初步體會(huì)由特殊到一般的研究順序。

2.新課講解

(1)體驗(yàn)二次函數(shù)圖像研究二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程、一元二次不等式的便利。

教師示范畫y=x2-x-2的圖像，讓學(xué)生觀察其頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開口方向、與y軸交點(diǎn)情況。由圖觀察出方程x2-x-2=0的兩根，并觀察出 x2-x-2>0的解集。

改變系數(shù)，通過在幾何畫板上畫出函數(shù)圖像同樣能解決以上的求解方程和不等式的解的問題。

設(shè)計(jì)意圖:體會(huì)二次函數(shù)圖像對(duì)研究與一元二次有關(guān)的問題的重要性，從而激發(fā)學(xué)生對(duì)深入研究二次函數(shù)圖像的求知欲。

(2)探究二次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)的變化對(duì)圖像的影響。

師:請(qǐng)同學(xué)們?cè)趲缀萎嫲迳袭嫵龅谝唤M二次函數(shù)

y=x2+2x-1

y=x2+8x-1

y=x2-4x-1

的圖像(如圖2)。探究一次項(xiàng)系數(shù)變化對(duì)圖像的影響。

生:一次項(xiàng)系數(shù)的變化使得拋物線對(duì)稱軸的位置發(fā)生變化，繼而使得頂點(diǎn)位置隨之發(fā)生變化。圖像與y軸的交點(diǎn)不變。

師:拋物線的開口方向和開口的大小如何變化?

生:拋物線的開口方向不變，開口的大小發(fā)生變化。

師:(對(duì)學(xué)生在此處的錯(cuò)誤要及時(shí)糾正)拋物線的開口的大小實(shí)際上并未發(fā)生改變，直觀上的變化是因?yàn)轫旤c(diǎn)位置發(fā)生了上下移動(dòng)引起的。

(3)探究二次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)變化對(duì)圖像的影響。

師:畫第二組函數(shù)

y=x2+2x-1

y=x2+2x+1

y=x2+2x+3

的圖像，探究常數(shù)項(xiàng)c的變化對(duì)圖像的影響。

生:常數(shù)項(xiàng)c的變化使得圖像與y軸的交點(diǎn)及頂點(diǎn)的位置發(fā)生改變，對(duì)圖像的對(duì)稱軸、開口方向及大小不會(huì)有影響。

(4)探究二次函數(shù)各項(xiàng)的系數(shù)連續(xù)變化對(duì)圖像的影響。

教師打開幾何畫板課件(Ⅱ)。演示a、b、c分別連續(xù)變化時(shí)y=ax2+bx+c圖像的變化(如圖3)。

師:請(qǐng)同學(xué)們以四人為一組在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上以小組為單位，動(dòng)手利用幾何畫板課件(Ⅱ)探究a、b、c分別連續(xù)變化時(shí)y=ax2+bx+c圖像的變化規(guī)律，并完成以下練習(xí)題。

學(xué)生操作，并做練習(xí)題:

(用A、B、C、D、E填空)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像中，僅變化a時(shí)，變;不變。僅變化b時(shí)，變;不變。僅變化c時(shí)，變;不變。

A.開口方向B.開口大小C.對(duì)稱軸的位置D.頂點(diǎn)坐標(biāo) E.與軸交點(diǎn)

教師深入小組參與活動(dòng)，傾聽學(xué)生的交流，重點(diǎn)指導(dǎo)完成操作。力爭(zhēng)讓學(xué)生自己操作、思考、總結(jié)，在不斷的摸索中找到問題答案。

設(shè)計(jì)意圖:此環(huán)節(jié)達(dá)到了一個(gè)小高潮，此處充分體現(xiàn)了現(xiàn)代信息技術(shù)處理動(dòng)態(tài)圖形的優(yōu)勢(shì)，給學(xué)生以強(qiáng)烈的震撼:那么復(fù)雜的參數(shù)問題在此竟是如此的直白。

(5)分析圖像變化的原理。

師:請(qǐng)同學(xué)們將二次函數(shù)配方:y=ax2+bx+c=a(x+-)2+ —— 用系數(shù)表示出對(duì)稱軸:x=--，頂點(diǎn)坐標(biāo)(--，——)，與y軸交點(diǎn)(0，c)，不難發(fā)現(xiàn)對(duì)稱軸與a、b有關(guān)，頂點(diǎn)坐標(biāo)與a、b、c都有關(guān)，與y軸交點(diǎn)僅與c有關(guān)。

設(shè)計(jì)意圖:此環(huán)節(jié)達(dá)到了“畫龍點(diǎn)睛”的效果，學(xué)生會(huì)恍然大悟，不僅知其然，還知其所以然。

(6)應(yīng)用舉例。

例:已知函數(shù)

y=x2-bx+1(0≤x≤1)，試用b表示函數(shù)的最小值。

師:這是一個(gè)含參數(shù)的二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值的問題，0≤x≤1內(nèi)，二次函數(shù)圖像只有一部分(如圖4)，隨著b的變化，這部分的圖像形狀也會(huì)發(fā)生改變，從而使最小值對(duì)應(yīng)的位置也會(huì)發(fā)生變化，故需要討論。如何分類討論，通過動(dòng)手實(shí)驗(yàn)找出分類的標(biāo)準(zhǔn)。

圖4

生:畫動(dòng)態(tài)的二次函數(shù)圖像，通過連續(xù)改變參數(shù)b的取值找到函數(shù)取得最值的位置，從而找到分類討論的分類標(biāo)準(zhǔn)。

師:回答的很好!說明你已經(jīng)具備動(dòng)態(tài)圖像的意識(shí)。下面請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位動(dòng)手在幾何畫板上畫出這個(gè)動(dòng)態(tài)的二次函數(shù)圖像，或者打開幾何畫板課件(Ⅲ)，通過操作改變參數(shù)b的取值進(jìn)而找出分類的標(biāo)準(zhǔn)，并完成此題。

教師深入學(xué)生指導(dǎo)，讓學(xué)生自己操作、思考，在摸索中找到問題答案。

展示學(xué)生解答。

解:函數(shù)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為-，即對(duì)稱軸方程:x=-

當(dāng)-≤0， 即b≤0時(shí)

在x=0時(shí)，ymin =1

當(dāng)0<-<1， 即0

在x=-時(shí)，ymin=---+1=1--

當(dāng)-≥1， 即b≥2時(shí)

設(shè)計(jì)意圖:提高學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

3.課堂練習(xí)

師:有了幾何畫板作為工具，可以幫助我們?cè)诙虝r(shí)間完成大量的變式練習(xí)，迅速提高解題能力。請(qǐng)同學(xué)們通過修改系數(shù)、改變參數(shù)b的位置、改變區(qū)間的端點(diǎn)等方式對(duì)此題加以改編，運(yùn)用同樣的方法，進(jìn)行變式訓(xùn)練。

設(shè)計(jì)意圖:依靠變式提升演練水準(zhǔn)，不僅提高運(yùn)用二次函數(shù)圖像解決問題的能力，也提高應(yīng)用信息技術(shù)輔助學(xué)習(xí)的能力。

● 教學(xué)反思

本節(jié)課利用數(shù)學(xué)軟件搭建一個(gè)“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”，利用計(jì)算機(jī)超強(qiáng)的計(jì)算功能和畫圖功能，讓學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)完成大量運(yùn)算和作圖，達(dá)到了教師的預(yù)期目標(biāo)。

課堂上注重教師的示范、引導(dǎo)與學(xué)生的自主探究相結(jié)合，學(xué)生人手一機(jī)積極參與。在第一部分教學(xué)階段，從探究參數(shù)a、b、c的變化對(duì)函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像的影響，到自我歸納其中的變化規(guī)律，均由學(xué)生獨(dú)立探究完成。最后再由教師分析所得到的這種“規(guī)律”的理論依據(jù)，讓學(xué)生的形象思維上升到理性思維。

在第二部分教學(xué)階段，應(yīng)用舉例，分析:在0≤x≤1內(nèi)，二次函數(shù)圖像只有一部分，隨著參數(shù)b的變化，這部分的圖像形狀也會(huì)發(fā)生改變，從而使最小值對(duì)應(yīng)的位置也會(huì)發(fā)生變化，故需要討論。如何分類討論，通過動(dòng)手實(shí)驗(yàn)找出分類的標(biāo)準(zhǔn)，滲透“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想。

課堂練習(xí)部分，通過改編例題，讓學(xué)生應(yīng)用所學(xué)到知識(shí)解決問題，活學(xué)活用，強(qiáng)化本節(jié)知識(shí)。

二次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的熱門話題，很多問題最后都要?jiǎng)潥w為二次函數(shù)來解決，熟練掌握、運(yùn)用二次函數(shù)圖像和性質(zhì)始終是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容。幾何畫板為數(shù)學(xué)搭建了一個(gè)“做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的平臺(tái)，有助于學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，更深地理解數(shù)學(xué)思想。總之，本節(jié)課選擇了中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)的課題，借助于現(xiàn)代教育技術(shù)突出了重點(diǎn)，突破了難點(diǎn)。從課堂、課后學(xué)生的反饋來看，取得了較理想的效果。

反思不足之處:學(xué)生的主體突出不夠，教師講得太多;課堂練習(xí)部分設(shè)計(jì)開放得不夠，應(yīng)放手學(xué)生自行改編例題，而不是將改編好了的題讓學(xué)生去做;課件制作有待進(jìn)一步改進(jìn)，交互性、開放性需加強(qiáng)，內(nèi)容還可以更豐富一些。

點(diǎn)評(píng)

二次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要章節(jié)，是體現(xiàn)數(shù)形一一對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想的典型內(nèi)容。數(shù)學(xué)中的許多二維問題均可劃歸為二次函數(shù)來解決。因此，二次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)十分重要的教學(xué)內(nèi)容。

教者充分利用幾何畫板的功能，搭建了一個(gè)“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”。在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下，通過教師的示范，引導(dǎo)學(xué)生觀察二次函數(shù)的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開口方向與y軸交點(diǎn)的情況;在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生親自操作幾何畫板，先后畫出兩條不同的二次函數(shù)曲線，分別探究一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的變化對(duì)圖像的影響，進(jìn)而探究出曲線和最值變化的規(guī)律。是一次揚(yáng)信息技術(shù)之優(yōu)，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特征的好的實(shí)踐。

教者在教學(xué)過程中堅(jiān)持了數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)和實(shí)踐。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要特征之一。教者利用幾何畫板軟件的快速計(jì)算功能和超強(qiáng)畫圖功能，在45分鐘內(nèi)多次完成二次函數(shù)的作圖任務(wù)，迅速地實(shí)現(xiàn)二次函數(shù)圖形隨著a、b、c參數(shù)的變化而變化的教學(xué)過程，讓學(xué)生身臨其境地觀察到參數(shù)與圖形一一對(duì)應(yīng)的變化關(guān)系。

教者在教學(xué)過程中堅(jiān)持了以學(xué)生為主體的教學(xué)思想，幾何畫板軟件是定性定量結(jié)合分析研究數(shù)學(xué)的一個(gè)好工具，教者設(shè)置問題，學(xué)生操作軟件。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室里，學(xué)生親眼看見參數(shù)在變、曲線在變，反復(fù)實(shí)踐，親身感受了二次函數(shù)的變化規(guī)律，師生共同探討二次函數(shù)最值形成的規(guī)律。實(shí)現(xiàn)了知識(shí)、能力雙豐收，經(jīng)歷作圖過程，體驗(yàn)幾何畫板的操作方法，掌握用“幾何畫板——數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”來學(xué)習(xí)二次函數(shù)的方法，滿足了學(xué)生的深入探究的心理，培養(yǎng)了他們不斷發(fā)現(xiàn)、探究知識(shí)的精神，執(zhí)教者和學(xué)生在幾何畫板搭建的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室中，認(rèn)真學(xué)習(xí)和實(shí)踐數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

(點(diǎn)評(píng)人:江蘇省南京市電化教育館#8195;NOC活動(dòng)評(píng)委#8195;洪禮彬)