基于隨機波動率假設的權證定價理論評述

摘要：隨機波動率（SV）模型在衍生品定價和風險管理中的應用開始發揮越來越重要的作用，但是，由于很難得到似然函數的閉型表達式，SV模型的參數估計問題嚴重限制了它在金融實踐領域的普及應用。不過，近年來，學者們提出了許多旨在解決SV模型參數估計問題的有效且可行的新方法，大大推進了SV模型的應用化進程。本文將在權證定價分析的框架內，重點評述SV模型的參數估計方法，并從理論和實證的角度對它們的優點和不足進行簡要評介和比較。

關鍵詞：SV模型；權證定價；估計方法

Abstract：Stochastic Volatility（SV）models are increasingly important in practical derivatives pricing applications， yet the empirical application of SV models in financial has been limited due to the difficulties involved in the evaluation of the likelihood function. However， recently there has been fundamental progress in this area due to the proposal of several new estimation methods that try to overcome this problem， being at the same time， empirically feasible. In this paper， we analysis the main estimators of the parameters and the volatility of univariate SV models under the framework of warrant pricing. We describe the main advantages and limitations of each of the methods both from the theoretical and empirical point of view.

Key Words：SV models，warrant pricing，estimating methods

中圖分類號：F830文獻標識碼：A文章編號：1674-2265（2009）05-0026-05

一、引言

Black-Scholes期權定價理論在金融領域的里程碑地位早已在理論界和實踐行業得到廣泛認可。在實踐領域，正是因為Black-Scholes 期權定價公式的問世，期權類金融衍生產品市場在過去的四十五年中得到了迅猛發展，并已成為了整個金融市場的重要組成部分。與此同時，針對Black-Scholes定價理論的局限性而展開的學術研究層出不窮。和任何其他理論一樣，該定價理論的局限性主要表現在偏離現實的種種假設條件上。

由于波動率是金融產品定價和風險管理中最重要的考慮因素之一，所以針對標的資產價格常數波動率假設的研究最為普遍和深刻。標的資產價格波動率是常數的假設和現實之間的沖突是非常明顯的，通常資產價格波動率表現出典型的時變特征，比如有厚尾、波動聚集性、杠桿效應、長記憶性和持續性等。目前，對金融波動的以上特征進行刻畫的模型可以分兩大類：第一類是ARCH/GARCH類波動率模型，Engel（1982）、Bollerslev（1986）將當期波動率表示成過去波動率和平方誤差項的確定性函數；第二類是由Taylor（1986）、Ghyselst（1996）和Shephard（1996）提出的隨機波動率模型（SV），它把波動率假設成一個服從某種隨機過程的潛在變量。

相比較而言，SV模型的理論基礎更加貼近現實，能夠包含更多的波動率時變特征，如果可以把它和權證定價結合起來，在理論上可以大大提高權證定價的精確合理程度。但是，隨機波動率模型的應用卻因為其估計方法上的困難而沒有ARCH/GARCH類波動率模型那樣普遍。不過隨著計算機模擬技術和計量經濟學的發展，有越來越多的隨機波動率模型的估計方法被提出來，大大促進了SV模型在實踐領域的應用，進而也使人們能更精確合理地對衍生產品進行定價。本文主要就隨機波動率模型的參數估計方法進行評述，并在此基礎上對權證定價進行理論上的分析與探討。

二、隨機波動率模型的類型和特征

早期研究這一領域的有Clark(1973)、Eppis和Eppis(1976)、Tauchen和Pitts(1983)，采用混合分布假設來近似資產價格行為，為收益波動率的結構化建模提供了一個理論框架，但是并沒有建立起能夠刻畫具體特征的波動率模型。直到1982年才由Taylor提出反映波動率群集的離散型SV模型，這一模型后來大多被稱為是基本SV模型。后來，SV模型經歷了從基本模型到能反映更多波動率特征的擴展型模型、從離散時間模型到連續時間模型、從一元模型到多元模型的發展路徑。

（一）離散時間的SV模型

Taylor（1986）提出標準離散時間SV模型來刻畫金融市場中的有關波動問題，來解釋金融收益序列波動的波動率群集效應。

基本的離散SV模型如下：

式中，是第t期的去掉均值后的收益， 是對數波動率； 是一個常數，表示平均的波動水平； 是結構參數，反映了波動率的群集效應；，

誤差過程 與互不相關，二者都是不可觀測的，

；參數是常數，度量了波動擾動的標準誤差。

基本的SV 模型中的許多假定在實踐中都不盡合理，修改這些假設，可得到各種擴展的SV模型。同時，單元的SV模型可以擴展到多元，更利于考察各收益序列之間的相關性。比如，Ruiz（1994），Harvey、Ruiz和Shepard（1994）通過假設收益率誤差項服從t分布或者GED分布（廣義誤差分布）而非正態分布，提出了肥尾類SV模型；Harvey和Shephard（1996）并不事先假設擾動項 和 兩者之間的相關系數為0，而是一個未知參數，從而提出了杠桿SV模型；Breidt、Crato與DeLima（1998），Granger（1999），Diebold 與Inoue（1999）和Granger 與Hyung（1999）把長記憶引入SV模型，提出了長記憶SV模型。

（二）連續時間隨機波動率模型

雖然在現實中，觀測值總是離散的，這給連續時間SV模型的估計帶來了困難，但是連續時間SV模型還是由于在理論上的明顯優勢而幾乎和離散時間SV模型同時引起學者們的關注。隨著計算機技術的發展，獲取高頻數據開始變得越來越方便，計量經濟學的發展為連續時間SV模型的估計提供了更多方法選擇的余地。著名的有Hull -White 模型、Stein-Stein 模型和Heston模型。

三、隨機波動率模型的主要統計推斷方法分析

由于似然函數精確表達式導致的參數估計難問題，SV模型在很長一段時間里同ARCH相比，并沒有在實踐領域表現出應有的吸引力。然而，最近幾年，總體上關于非線性潛變量模型的估計已經有了顯著的進步，特別是對SV模型的估計，學者們基于計量經濟學和仿真模擬等技術，提出了許多可行的估計方法。根據各種估計方法的特點，可以把這些方法分成如下四大類：

（一）矩估計方法——廣義矩估計法（GMM）

Andersen和S?觟rensen（1993）以及Jacquier、Polson和Rossi（1994）針對該對數正態SV模型提出了GMM估計。主要思想是運用SV模型的平穩性和遍歷性性質，這些性質使得樣本矩收斂于它們的無條件期望。對一個容量為T的樣本，令表示每一個樣本矩和其理論矩之間差距的一個向量，m是需要計算的矩的個數。廣義矩（GMM）估計量是通過最小準則函數來構造的：

其中 是一個的權重矩陣，它反映了賦予相應的每一個矩的重要性。

GMM方法簡單易行，但是并不有效，因為它是通過犧牲有效性來換取相對簡單性的。它的主要問題是如何合理地確定權重矩陣。Greet Dphaene 和 Olivier Vergote (2004) 得到了針對標準離散SV模型的GMM估計中最優權重矩陣以及最優GMM估計量漸近協方差矩陣的閉型表達式。利用這兩個閉型表達式可以對GMM估計量和其他估計量的有效性進行比較，并且可以從大范圍的有效矩條件中選擇最優的小范圍矩條件。另外，當接近于1時，收斂于無條件矩會相當緩慢，這時只有大樣本能夠解決這種問題。

Hansen和Scheinkman（1995）利用無窮小生成元來構建隱含于穩態馬爾可夫過程中的矩條件，進而通過這些矩條件來構造GMM估計量。George Chacko 和 Luis M. Viciera（1999）基于隨機過程的條件特征函數，提出了改進連續時間過程估計的譜廣義矩估計方法。以上兩種改進后的GMM方法都為連續時間隨機波動率模型的參數估計提供了有效參考。最近，Whilla Chen 和Rohit S. Deo（2005）利用GMM對長記憶隨機波動率模型進行了估計，并對于樣本矩的收斂速度進行了討論。

在國內，李傳樂、王美今（2006）采用模擬廣義矩估計方法（GMM），以上證綜合指數為樣本，考察了漲跌停板制度對滬市股票收益波動的影響，并將SV模型的實證結果與GARCH模型進行了比較，發現SV模型的估計更符合實際。

（二）基于極大似然函數的估計方法——準最大似然估計法（QML）

由于SV模型是非線性的，這使基于線性狀態空間模型的估計是無效的。不過，Harvey、Ruiz和Shephard（1994）以及Nelson（1988）通過對標準SV模型中的式（1）的觀測值進行平方對數變換，把非線性（高斯）SV模型轉化為線性非高斯狀態空間模型，并據此提出了準最大似然估計法（QML）。他們假設 是正態分布，利用Kalman濾子得到的準極大似然函數，并使之最大化來得到準極大似然估計值。

傳統的極大似然估計方法假設不存在模型設定誤差，視觀測變量的密度函數為其真實的似然函數，QML估計量則允許模型設定誤差的存在，并不事先決定似然函數的具體形式。Ruiz（1994）指出，QML的估計量是一致的，并且是漸近正態的。但是，由于沒有基于 的真實似然函數，QML方法并不有效，而且近似效果會隨著波動率的波動率的減小而變得更差。Jacquier Polson和Rossi（1994）指出，較高的持續性 和較小的 會使QML估計量產生更大的MSE，所以直接把QML應用于SV模型中會出現重大問題，因為金融數據通常都會有上述兩個特征。另外，當觀測值為零時，QML方法還會遇到模型內樣本點問題（inliers problem），因為此時，隨機波動率模型的線性空間模型轉化（對數轉化）便無法實現。Breidt和Carriquiry（1996）、Fuller （1996）以及 Bollerslev 與 Wright（2001） 通過線性轉化的方式給觀測值附加一個向上的平移項，改進了傳統QML方法，克服了模型內樣本點問題。

盡管QML方法有許多局限性，但是它的靈活性是不容置疑的，可以方便地對肥尾類SV模型和多元SV模型進行參數估計。Andrew C. Harvey和Neil Shephard (1996）通過在構成準似然函數的條件密度函數中引入觀測變量的符號變量，把QML估計方法延伸到杠桿隨機波動率模型的參數估計。

在國內，蘇衛東、張世英（2002）通過引入禁忌遺傳算法對準極大似然估計方法(QML)進行了改進，很好地克服了傳統QML方法在最大化準似然函數時遇到的初點選擇問題，并且通過對滬深股市的實證分析表明，改進后的方法較傳統QML方法和GMM方法都有效。

（三）輔助模型估計法

1. 間接推斷法。Smith（1993），Gourieroux、 Monfort 和Renault（1993）通過引入一個向量（比如說）參數化的輔助模型，提出了關于復雜結構模型基于模擬技術的間接推斷方法。這種方法論允許利用錯誤設定的輔助模型，因為基于正確設定的結構模型的模擬過程，以及對觀測值的模擬路徑通過同一個輔助模型所發揮的校正作用，可以對模型設定錯誤所產生的偏差進行有效的調整。

在確定輔助模型后，首先利用樣本數據得到一個輔助模型的參數估計量 。接著基于模擬技術，從給定結構參數 的結構模型中獲得H次模擬樣本

，并借此產生 的新估計量。最后基于H個重復模擬和T個觀測值的樣本，運用加權矩陣 來選擇的一個間接估計量，使得二次距離最小化，即：

上面提到的結構參數 是由鏈結函數給定的。正是因為需要對在數值最優化算法中出現的各個計算鏈結函數，使得間接推斷這種方法的計算負擔較重，降低了實現效率。

2. 有效矩估計法（EMM）。有效矩估計的主要思想和間接推斷估計方法相一致，都是通過引入一個輔助模型來對隨機模型進行相關分析和估計，只是兩者的處理方法不同。Gourieroux、Monfort 和Renault（1993）研究表明，間接推斷估計量和EMM估計量是近似等同的，都是一致的且服從漸近正態分布。由于有效矩估計法避免了對每個模擬樣本都用得分函數來求得估計量 ，并且不用最小化類似于（3）式的二次距離，所以和間接推斷法相比，大大提高了計算效率。但是和間接推斷法一樣，EMM也會出現在模型設定檢驗中的過度識別問題。此外，EMM方法無法解決波動率的過濾和平滑問題，所以，還需要用附加的方法來對波動率進行估計和預測。

Andersen、Chung和S?觟renson(1999)利用蒙特卡羅方法對SV模型的EMM估計量的有限樣本特性進行了分析，發現EMM的處理效率低于MCMC方法，但要優于GMM方法。在概念上，EMM方法可以被看成是介于GMM方法和直接對精確似然函數進行推斷的方法兩者之間。

Engle（1994）、Ghysels和Jasiak（1994）已經利用EMM方法對連續時間的SV模型進行了參數估計。Gallant 和Long（1997）、Jiang 和 van der Sluis （2000）對一些離散SV模型進行了估計。在后來的發展中，EMM主要是被用來對連續時間SV模型進行參數估計，比如，Andersen和Lund（1997）、 Chernov和Ghysels（2000）以及 Dai 和 Singleton （2001）。

（四）貝葉斯MCMC方法（Bayesian analysis based on the Markov Chain Monte Carlo method）

之所以把MCMC方法列入完全模擬方法中，是因為這種方法直接把參數的后驗期望作為其估計值。在一般情況下，結構參數 的后驗密度函數

以及其后驗期望函數的閉型表達式是無法得到的。在這種復雜的情況下，模擬技術就成了一種必要的方法，其中貝葉斯MCMC技術是非常重要的一類。MCMC方法是一種動態的抽樣方法，克服了傳統Monte Carlo 模擬的高維、靜態的缺陷， 提高了估算精度。

Jacquier、Polson和Rossi(1994)首次將貝葉斯方法用于對標準隨機波動率模型的分析。他們在貝葉斯框架中，利用基于數據增擴原理（Tanner和Wong，1987）的馬爾可夫鏈蒙特卡羅技術，獲取潛在變量（收益波動率）和所有參數之間的聯合后驗分布，進而從該聯合后驗分布中提取樣本，計算后驗矩估計值。這種方法的一個重要特點是把SV模型看成是由先驗密度函數 和兩個邊際分布

構成的分層結構模型，然后根據貝葉斯原理得到

的聯合后驗分布。從聯合后驗分布中抽取樣本的方法主要有Gibbs抽樣方法和Metropolis-Hasting抽樣方法。事實上，Gibbs抽樣方法是特殊的Metropolis-Ha-

sting抽樣方法，也可以看成是EM算法（Expection-

Maximum algorithm，期望值最大算法）的隨機版本。

Jacquier、Polson和Rossi（1994）提出的這種方法采用的是單步蒙特卡羅方法，在每個時點上，潛在變量從僅抽樣一次。這種方法，雖然在概念上很簡單，但是從模擬的角度來看，它并不是特別有效。Kim、Shephard和Chib（1998）提出了基于多步蒙特卡羅模擬的替代方法。這種方法可以對所有潛在波動率進行一次性抽樣，所以大大提高了處理效率。

借助于能夠實現這種方法的Winbugs和OXmetrics等軟件包的發展，MCMC方法在對SV模型的實證分析中得到了廣泛應用。Chib、Nardari和Shephard(2002) 提出一種有效的貝葉斯MCMC算法，對由包含肥尾t分布、模型局外變量和跳躍成份的擴展SV模型進行了參數估計。Abanto-Valle、Bandyop-

adhyay、Lachos和Enriquez（2008）基于一系列對稱正態分布的混合尺度，利用魯棒貝葉斯MCMC方法對肥尾SV進行參數估計。Jacquier、Polson和Rossi（2004）把基于MCMC的貝葉斯方法擴展到帶有肥尾特征和杠桿效應的SV模型中。Jun Yu（2005）對Jacquier、Polson和Rossi（2004）提到的擴展SV模型做了適當的修正，并利用MCMC方法對其進行了重新分析，改進的效果非常明顯。

貝葉斯MCMC方法不僅可以應用于離散SV模型，而且也可以廣泛適用于連續SV模型。Roberts、Papaspiliopoulos和Dellaportas（2004），Griffin 和Steel（2003），Griffin和Steel（2008）以及Gander和Stephens（2007） 將貝葉斯MCMC方法應用于波動率服從O-U過程的連續SV模型的參數估計和特征分析。Fruhwirth-Schnatter和Sogner（2008）將此方法用于Heston連續SV模型的相關分析。

在國內，孟利鋒、張世英、何信（2004）采用貝葉斯框架下的MCMC方法對具有杠桿效應的SV模型進行了參數估計， 并借助Wingugs對上海和深圳股市的指數收益時間序列進行實證分析，捕捉到顯著的杠桿效應。周彥、張世英（2007）利用MCMC方法對連續時間SV模型進行了估計。

四、隨機波動率假設下的權證定價分析與展望

（一）權證定價分析

統計推斷估計方法的不斷發展大大促進了基于SV模型的衍生品定價研究的發展，進而也為在隨機波動率假設下的權證定價研究奠定了基礎。

第一，在某些SV模型下，比如Heston模型，是可以得到歐式期權價格的閉型解的。在這種情況下，只要通過有效可行的估計方法得到SV模型參數和波動率的估計值就可以求出歐式期權的價格，在做適當修正后，便可以直接對權證進行定價。

第二，雖然對于大部分SV模型而言，歐式期權價格的閉型表達式是無法獲得的，但是，在得到SV模型的參數估計值之后，通過不太復雜的模擬方法，比如蒙特卡羅模擬方法，我們就可以得到性能良好的歐式期權價格的近似值。對于離散時間SV模型，可以直接進行模擬，而對于連續時間SV模型，則要先通過離散化來構建模擬路徑，然后再進行模擬定價。目前的研究中廣泛采用的離散化方法主要是歐拉離散化方法和Milstein離散方法，雖然這些方法簡單易行，但會由于忽視掉波動率不能為負的直觀假設而產生較大的離散誤差。因此，如果能提出一種能確保波動率為非負且操作性強的離散化方法，必定能更合理地對SV模型進行仿真模擬和參數估計。

目前，SV模型和資產定價模型或風險管理模型的結合，只是簡單地分為兩步，即先通過SV模型估計出波動率，然后將其納入到資產定價模型和風險管理模型。但是，這樣會忽略掉模型與模型之間可能存在的可融合問題，比如，假設條件或者模型設定沖突等，所以有必要對SV模型和其他模型的嵌套問題進行深入研究。

第三，每種SV模型都有各自在模型設定上的特點，比如假設條件和模型結構的不同，而以不同資產為標的物的歐式期權又有各自不同的市場微觀結構，且不同的市場會有不同的市場機制，所以是否存在一種對任何歐式期權定價都是最優選擇的SV模型，在理論上是值得懷疑的。如果不存在，那么在不同的歐式期權或權證和SV模型之間是否存在一一對應的最優選擇關系呢？鑒于我國權證市場上權證種類稀少的實際情況，我們有條件用不同的SV模型對每只權證進行擬合分析，并探索其中可能存在的內在規律。如果在我國權證市場不斷發展之后，權證的種類數量超出了逐一分析的限度，那么在理論邏輯上，可以依據一定的標準，比如標的股票的規模或者是市場交易的結果和理論推測的結果偏差，對權證進行分類研究。

（二）SV模型估計方法研究的展望

通過對隨機波動率模型的參數估計方法的評述，我們發現該領域今后的研究需要在以下兩個方面有所突破：

第一，雖然估計方法之間關于實現難易程度、精確度和處理速度等方面的比較研究取得了一些成果，但是都還只是局部比較。而且即使是局部比較，所得到的結果也是不一致的，有的甚至是截然相反的。所以有必要對不同SV模型估計方法的優點和缺點進行全面的比較研究。

第二，進一步簡化實現手段，開發出更具操作性的SV模型估計軟件。雖然近年來SV模型估計的軟件化取得不小成果，但是，相比于ARCH/GARCH模型的估計還是顯得過于復雜。這也是SV模型未能在實踐領域得到進一步普及的主要原因，所以在提高估計方法實現效率這方面還有很大的發展空間，其中相關開放性軟件的開發是最主要的一塊。

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（特約編輯 齊稚平）