從探究中的邏輯問題談起

張新春

《中小學數學》小學版2008年第11期發表了浙江上虞陸建江老師《探究到底要多深》一文，文中陸老師在聽完“三角形內角和”一課并與專家現場對話后，作了自己的思考。主要涉及對以下教學環節的認識。

師：（拿出一張長方形紙）老師把這個長方形沿對角線剪成兩個直角三角形，你能想辦法再來驗證三角形內角和是180度嗎？

在學生思考較長時間后，教師引導兩位學生完成以下推導（完成方式1的推導后，教師問“怎樣拼成銳角三角形來驗證？”）：

具體驗證方法是，通過觀察圖形，得到三角形內角和即為(∠1+∠2)×2=90°×2=180°

陸老師質疑的是探究需不需要這樣深。筆者在此要說的是，不管探究深淺，首先是不能有邏輯上的大問題。

探究三角形內角和的邏輯是：任意給定一個三角形，它的內角和是定值嗎？如果是，這個定值是多少（當然，在這里，這兩個問題是同時解決的）？而教師引導學生做的事是：將一個長方形剪成兩個三角形，將這兩個三角形拼成一個新的三角形，這個三角形的內角和是180度。顯然這是兩個不同的的問題。首先，因為一個長方形剪成兩個三角形，用這兩個三角形拼成的三角形都是等腰三角形，教師通過這一系列的研究，充其量引導學生探究了等腰三角形的內角和是180度，對于一般的三角形根本沒有涉及。

另一方面，即使是要探究一個等腰三角形內角和是180度，符合邏輯的做法也不能是這位老師這樣的做法，而應按完全相反的做法施行。即先任意給定一個等腰三角形，再沿這個等腰三角形底邊上的高剪開，得到兩個直角三角形，這兩個直角三角形拼在一起是一個長方形。

也許有讀者會說，在小學，用得著講這么多邏輯嗎？你再講邏輯，三角形內角和還不是通過幾個特例后即作出一般結論！邏輯的力量同樣很弱。筆者要說的是，科學性與量力性相結合的原則無疑要堅持，但這個原則指的是，如果對科學性的要求超出學生的認識水平，量學生之力而不能接受，則按此原則適當犧牲科學性要求，以達到學生能理解的目的。如三角形內角和問題，若硬是要從平行公理開始，則與學生的認識水平不相適應，學生無法接受，因此，我們采用實驗的方法，不完全歸納的方法得到結論。但即使是實驗，即使是不完全歸納，我們也應該盡可能使其邏輯性稍強，比如舉例時不限于某一種特殊情況，而是盡可能各種類型的例都舉出來驗證一番。強調這種意義上的邏輯性完全在學生的認識水平范圍之內。讓學生在其能力與認識水平范圍之內思考問題盡量符合邏輯，考慮問題盡量全面，這也應該是數學教學的基本意義所在。

以上為其一。

其二，陸老師文章中介紹的專家評課時指出，四邊形的內角和是由三角形內角和推導出來的，由長方形的內角和推出三角形的內角和有循環論證之嫌。由此看來，評課的專家也看重邏輯問題。但到底應該如何看待用長方形內角和推導三角形內角和的問題呢？筆者認為，這里不存在循環論證的問題，因為長方形的內角和并不需要由三角形內角和定理得到。所謂四邊形內角和由三角形內角和推導，指的是一般的四邊形。像平行四邊形（特殊的如長方形）、梯形這類特殊的四邊形，其內角和是不必由三角形內角和定理推出，而只需利用其定義并得用平行線的有關公理、定理即可得到。

那么，如何利用長方形的內角和（準確的說是利用長方形四個角都是直角）的結論來推得三角形內角和是180度才是合符邏輯的呢？

首先，對于任意直角三角形，其內角和是180度。這一點由兩個完全一樣的直角三角形可以拼成一個長方形即可得到（值得注意的是，這里是用任意給定的、即要研究的直角三角形拼出長方形，而不是用長方形來剪出直角三角形。換句話說，對于任意給定的直角三角形，都可以找到一個長方形，沿對角線剪開后，得到的三角形與給定的三角形是完全一樣的，總之，出發點必須是任意給定的三角形，而不是長方形）。

其次，對于任意三角形，總可以通過作某一條高，將其分成兩個直角三角形。這兩個直角三角形的內角和之和是360度，這個和與原來三角形的內角和相比，多出一個平角，于是原來三角形的內角和是180度。

值得說明的是，三角形是最基本的多邊形，直角三角形是特殊的三角形，研究多邊形的內角和，從三角形開始，繼而從直角三角形開始，這種從簡單到復雜，從特殊到一般的思路是研究問題很自然的思路。筆者曾用完全類似于上述方法處理過多邊形面積的教學，效果較好。其基本思路是在長方形面積計算方法的基礎上，得到直角三角形的面積計算，繼而任意一個三角形，都可以通過作高分成兩上直角三角形，這兩上直角三角形面積之和即為原三角形面積（鈍角三角形處理起來有點特殊，有一種情況是兩個直角三角形面積之差）。于是平行四邊形，梯形面積都只需通過對角線將其分割成兩個三角形處理即可。這里同樣充滿從特殊到一般，從未知到已知的轉化。

（責任編輯：李再湘）