數學探究學習中出現的錯誤類型及原因

孫小利

學生在數學探究學習中，出現錯誤是正常的。我們要引導學生學會從錯誤的理解中走出來，達到對問題的正確理解。錯誤伴隨著每一個學習者，在糾正錯誤的過程中，自己獲得發展。

一、 數學問題提出過程出現的錯誤

數學探究學習始于問題。根據問題情境，學生提出一個嘗試性的問題，最初這種問題還不是明確、具體的，它可能在部分或整體上是錯誤的或存在漏洞，經過批判討論和實驗檢驗，消除錯誤的條件，理順問題各個要素的關系，形成有意義、有價值的問題。學生對問題情境中數學信息的觀察分析、對數學信息的綜合、對數學信息的理解、對數學信息質疑、運用數學語言表達問題等方面容易出現錯誤。

二、 給出數學猜想出現錯誤

猜想是學生在數學探究學習中逐漸認識問題的動態過程。當學生對他們的猜想不滿意時，也就是說，當他們已有的猜想不能夠充分描述或解釋數據、特例所反映的規律時，他們才會修正猜想。經過試探地尋找錯誤和消除錯誤，由多個猜想不斷篩選，得到所謂“正確”的。試錯法的運用成功與否，主要依賴于試探過多少次以及怎樣試探。試探過程中，每發現一條走不通的路，都為到達成功的目標增加了可能性。數學探究學習中猜想既是一個結果，又是一個過程，它的錯誤表現在：

(1)猜想過程出現錯誤。主要表現在計算、推理等方面。在“格點多邊形的面積”課例中，有的學生在數一個圖形的內點數、邊點數、并計算它的面積時出現錯誤，就是因為數點個數不準確、計算面積錯誤等。這直接導致學生利用數據不能總結規律，無法得到猜想。也有的是由于學生對概念本質理解錯誤或混淆某些概念、錯誤運用算法規則或相關性質等，得到錯誤猜想。這樣的錯誤是明顯的，只要學生認真計算、推理，就可能避免出現這類錯誤。

(2）盡管猜想過程是正確的，但是有的猜想結果是完全錯誤的，有的猜想結果存在漏洞。上海L老師執教“勾股定理”案例中，老師請大家仔細觀察表中的數據，猜想一下，直角三角形三邊存在哪些數量關系?小組先討論一下，大膽地猜想，把猜想的結果全都寫在工作單上。某個學生工作單上數據如下：

學生在工作單上畫出4個圖形，根據工作單上方格，學生得到相應的數據，將其填入表中。學生觀察、比較表格中6個量的數據，得到5個猜想:a²+b²=c²，(猜想1)，2ab+1=c²，(猜想2)，a+b+a²=b²，(猜想3)，(a+b)2-2ab=c²，(猜想4)，c²=2ab+(b-a)2 (猜想5)。對于表格中的數據來說，5個猜想都是正確的，但對于其他數據來說，有的猜想正確，而有的猜想錯誤。下面的教學片段，是學生利用數據對猜想進行驗證、發現其中錯誤的過程。

T：黑板上共有5個猜想。僅僅是通過4個三角形對它進行一系列計算得到的一些猜想，那么這些猜想是否適合于其他的所有直角三角形呢?我們來做一次實驗，在空白網格當中，自己任意地舉一個直角三角形，然后按照剛才的方法，每邊向外做一個正方形，算一下a²、 b²、c²和2ab，看一下這些猜想是否依然正確。現在開始。在網格中任意畫一個直角三角形，然后每邊向外做一個正方形，算一下a²、b²、c²和2ab。(學生動手操作，教師巡視)

T：我看一下，很多同學都畫完了，也填完了。誰來說說你的意見?剛才每個同學自己又畫了一個直角三角形，然后又計算了a²、b²、c²和2ab，然后看一下這些結論是否都是成立的呢?

S9：我畫的三角形，a=4、b=5。

T： 我們看一下他所畫的直角三角形。直角三角形兩條直角邊，a是4，b是5，因此，你計算出來的結果怎樣呢?

S9：我計算出來的結果是a²=16，b²=25，2ab=40，c²=41。

T： 這5個猜想是否都成立呢?

S9：都成立的。

T： 全部都是成立的。a²+b²，16+25，41對吧?另外，2ab+1=c²，40+1，的確是41。然后看一下a+b+a²=b²，4+5+16仍然是25。后面(a+b)2-2ab仍然是41，再看2ab+(b-a)2仍然是41。他舉的例子發現，剛才得到的猜想都是成立的，大家都同意嗎?

S10：不同意。當a=7、b=5時，a²=49，b²=25，2ab=70，a²+b²=c²等于74，2ab+1=c²就不成立。

T：a=7，b=5，2ab+1=c²不成立。我們看一下計算結果，70+1不等于74是不是?你們有沒有舉這樣的例子?其他的都成立嗎?

S10：其他的成立。

T：其他的都成立？你來說說看。

S11：我發現a+b+a²=b²不成立。

T：a+b+a²=b²不成立。你剛才舉2ab+1=c²不成立?

S10：對。

T： 你上來說說好嗎?你舉的是怎樣的一個例子？

S11：我舉的兩邊都是4。

T：舉了一個等腰直角三角形，兩條直角邊都是4，那么結果算下來發現怎樣?

S11：結果算下來發現，2ab+1=c²不成立。

T：不成立。我們看一下，2ab 算出來是32，32就等于32，不等于32+1了，對不對?還有沒有?

S11：還有。a+b+a²，4+4+16也不等于16。

T：前面三項，4+4+16也不等于16，其他的你驗算過了沒有?其他的成立嗎?

S11：其他的成立。

通過對猜想進行驗證，有的學生還是認為5個猜想是對的，而有的學生用其他數據驗證，發現2ab+1=c²、a+b+a²不成立。這說明：這類錯誤是猜想過程中比較常見的，主要是由于在猜想過程中學生由個別特例推出一般規律。盡管學生在猜想過程中使用的數據是正確的，但是數據不充分導致錯誤猜想出現。通過猜想——驗證——發現錯誤——再猜想的過程，學生不僅學會對猜想進行驗證，而且還學會用反例的方法反駁猜想。

三、 證明猜想出現錯誤

學生在證明猜想時，要想得到正確的論證，必須掃清一系列障礙，其中的任何失誤均會影響論證的進程，導致最后證明的失敗。在這方面，已經有一些研究: 有人從解題過程角度提出錯誤的層級，將其分為5個水平：閱讀、理解、轉換、加工技能、編碼。理解錯誤指的是沒有掌握問題中所有信息的意義，操作技能的錯誤指的是與算法有關的錯誤，編碼錯誤指的是書寫錯誤，如筆誤等。

(如皋市如城鎮許莊初中)