讓您耳目一新的數學評講課

【關注理由】數學測試后的試卷評講課是數學教學中的重要課型，是中學數學復習教學的重要環節。評講課效率的高低，是進一步提高教學質量與效益的關鍵[1]22。通常情況下，教師在閱卷后，不對其進行認真的分析、研究和備課，就急急忙忙上評講課，而且大都要花上幾節課的時間。教師要么把試題從頭到尾不厭其煩地講一遍；要么對對答案，只選取幾個自己認為重要的試題講講；要么把一節評講課變為一節“訓斥課”。這種評講課，教師獨霸講臺，學生只是被動地聽，沒有充分參與到評講的過程中，結果是學生疲憊，教師辛苦，教學效益低下。成都市龍泉中學牟林老師在學校進行的新授課、復習課、講評課三課型規范研究活動中所作的一堂試卷評講課，克服了傳統評講課的弊端，給我們耳目一新的感覺。

● 課例情境再現

一、分組講述——掌握測試整體狀況

師：試卷分發下來后，老師要求各小組總結討論，自查、互查。請第七小組代表講述你們討論的情況。

生A：我們小組平均分91分。自查找回平均分19分，互查找回平均分26分。我們根據存在的差距，找出的問題有：（１）書寫不規范。（２）知道題目意思，但是做不好，或做得不完整。（３）時間把握不好，沒有把題做完。根據考試情況，我們對下一次考試提出的要求是，爭取趕上第一名的小組或與第一名小組縮小差距，希望重點評講11題、13題、16題。

師：謝謝第七小組的同學們，再請一個小組學生代表發言。

生B：我們小組平均分94分，自查找回平均分18分，小組討論找回平均分6分，如果大家發揮得好的話應該得的平均分是118分。小組答卷存在過失性失分有：（1）2人書寫潦草。（2）3人畫圖不夠規范。（3）3人答題思路不夠清晰、規范。（4）一些同學做題時太過緊張，沒有合理地安排時間，以為題目很難而放棄解答，所以就沒辦法得分。總體上第7、8題失分較多，主要是不會做。經過小組討論后現在能理解了，希望老師能對7、8題進行深入地剖析。（全體學生鼓掌）

師：好，接下來我們一起看看試題的組成。本試卷是為期末復習準備的。這份20道題目的試卷中，有8道題來源于高考題，4道題來源于石家莊市的錯題集，4道題是成都市一、二次診斷性考試題，還有4道題是由課本上習題改編的。從這次考試情況看，整體得分情況比較正常，畢竟立體幾何才學了四個小節的內容。選擇題做得較好，填空題也很不錯，但解答題做得不夠理想，主要是書寫、畫圖的問題。因為只有90分鐘，只準備了20道題，滿分120分，班平均得分92.82分，相當于150分的116分，與高考的平均分相差不大，希望大家繼續努力。

二、互動講評——辨析典型個體錯誤

師：接下來我們一起來看今天要評講的第二個

內容即第一部分題的1、2、3、5、6、8小題。這幾道題，從知識上主要考查空間中線與線、線與面、面與面的位置關系；從能力上主要考查閱讀審題能力、空間想象力、思辨能力等。存在問題是，稍復雜的線與線、線與面的關系不清楚，概念不清晰，空間想象能力不夠，舉反例的意識不強。

師：先看第8題，哪位同學能說一下你當時是怎么做的？若錯了，是怎么錯的？

生C：我當時主要沒有把空間四邊形和四面體

的概念弄清。

師：現在弄清楚了嗎？

生C：后來清楚了，但我不知道這道題應從哪里入手？

師：請看這兩個圖形，（展示空間四邊形、四面體）請問哪個是空間四邊形？哪個是四面體？

生C：左邊的是四面體，右邊這個是四邊形。

師：四面體最多有幾對棱互相垂直？

生C：4對，考試的時候我答的3對。

師：怎樣得出來的？

生C：因為我沒有想到線面垂直。

師：請看圖，因為題目求的是最多有幾對，若AD⊥面BCD，CD⊥面ABD，借助線面垂直關系，AD⊥CD，AD⊥BC，CD⊥AD，CD⊥AB，這樣便很容易解決。

生C：是的，我忘記畫圖思考，謝謝老師。

師：請坐下，第3題，誰來說說你當時是怎么做的？

生D：第3題我沒有搞清對兩條直線的描述，我一直認為兩直線可以重合。

師：你考慮兩直線的問題，本題是考查兩直線與平面的位置關系對嗎？

生D：對。

師：知道問題出在哪兒嗎？

生D：我認為兩條直線可以重合。

師：本問說兩直線與同一平面所成角相等對嗎？哪位同學能幫我點忙，我們一起來演示一下這個問題。（教師拿出準備好的自制教具和學生E一起演示）把這兩根木棍看成兩條直線，把本子看成一個平面。若構成等腰三角形，那么，與平面所成角相等嗎？

（全體同學說“相等”）

師：此時這兩條直線平行嗎？

（全體同學說“不平行”）

師：你受了定勢思維的影響，考慮了兩直線方向相同，（演示）對嗎？

生E：對。

師：今后要注意，請坐下。請看第5題，哪位同學說說你的情況？

生F：第5題最開始我選的是D。我當時沒有畫圖，用手和筆比劃了一下就選了D。

生F：（演示）因為題上說過點P有一條直線與I和m異面，我覺得好像是對的，沒有想到其他情況。

師：請幫我一下忙可以嗎？（師走到生F旁）

生F：可以。

師：我們來演示這個問題。（師和生F一起演示）這是兩條異面直線，過空間一點和它們異面的直線有多少條？

（全體學生說“無數條”）

師：請看，（面向全體學生演示）過空間這兒一點有多少條直線與它們都異面？

（全體學生說“無數條”）

師：這兒有一個很易出錯的地方，過點P與它們都相交的直線有多少條？

生：（思考）無數條。

師：那么這些相交直線都共面嗎？（師邊講邊演示各種情形）

師：如果它們都共面，那么這兩條直線還是異面直線嗎？

（全體學生說“不是”）

師：本題，可能大多數同學真正錯在這兒了。注意思考問題一定要深入，學會從反例入手思考，學會運用筆等工具演示各種可能的情況，幫助我們解決問題。

師：解決這類問題，我們要學會讀清題意，理解其實質。在較復雜的線與線、線與面、面與面的關系問題中，盡可能找出實例或運用四面體、正方體等我們熟悉的圖形幫助分析，把抽象的問題具體化，復雜的問題簡單化。

三、展評思路——協同進行數學思考

師：接下來我們一起來評4、7、11這三道題。這幾道題主要考查線線垂直、線面垂直、射影定理、三角形的四心、三垂線定理及逆定理，重點考查等價轉化思想和邏輯推理、知識遷移能力。存在的問題是，初中學習的三角形“四心”概念不清晰，射影定理忘了。三垂線定理及逆定理靈活運用不夠，立體圖作圖、識圖能力不夠。

師：誰來說說第4題你當時是怎么做的？

生H：當時我覺得好像講過的，條件反射地選擇了答案，因為以前這種題一般都這樣做的。這次卻錯了。

師：條件反射地選錯了？現在改正了嗎？能到前面給大家講一下嗎？

生H：（在掌聲中走上講臺，用木棍指圖）因為PA、PB、PC與平面ABC所成的角相等，即∠PAO=∠PBO=∠PCO，P點在平面內的射影為O，所以∠POA=∠POB=∠POC=90°，所以ΔPAO≌ΔPBO≌ΔPCO，所以AO=BO=CO，根據外心的性質，所以O為ΔABC的外心。

師：講得非常好。

（全體學生鼓掌）

師：都懂了嗎？

生：（全體）懂了

師：注意習慣性的錯誤。認為知識熟悉或做過類似的題而不認真分析、思考，隨意作答，結果卻錯了。

師：接下來請看第7題。第7題畫了圖在上面，誰來說說你當時是怎么做的？

生I：我當時認真畫了圖，也找出了解決問題需要的條件，但沒有分清內心、外心、垂心、重心的含義，結果錯了。

師：你當時不知道“四心”是什么嗎？現在呢？

生I：知道了，垂心是高的交點，外心是外接圓心、中垂線交點，內心是角平分的交點，重心是中線的交點。

師：說得非常好。（全體學生鼓掌）

師：三角形“四心”是初中學的，我們也多次復習過，大家要記清楚。本題，我給出了解答過程，請大家仔細看。

師：本問題的實質是什么？

（全體學生說“線面垂直”）

師：請大家思考練習二，時間１分鐘。

（學生分小組熱烈討論，教師帶著教具到一個小組參與討論）

師：好，小組討論解決問題了嗎？得出答案沒有？（全體學生說“得出了”）

師：哪位同學代表你們小組來說說？

生J：由P點到三邊的距離相等，即PE=PD，有一個直角、兩條邊相等，從而可證ΔPOE≌ΔPOD，得OE=OD，所以O到三邊AB、BC、AC的距離相等，因此O為ΔABC外接圓的圓心。

師：是外接圓的圓心嗎？

學生：內心。

師：好，請坐下，請問當點P到三邊AB、BC、AC距離相等的時候，還要證明三角形全等嗎？

（全體學生說“不需要”）

師：為什么？

生K：因為斜線相等，則射影相等，以此，可直接得出O為三角形內心。

師：說得很好，請坐下。斜線相等，則射影相等，這樣就很容易知道O是三角形的內心。

生L：（舉手，師示意作答）當點O到三邊距離相等時，O點不一定是三角形的內心，它也可能是這個三角形的旁心。

師：你能給大家說說旁心的概念嗎？

生L：旁心是三角形的外角平分線的交點，它也是一個圓的圓心。這個圓和三角形三邊或延長線相切，也就是說它到三邊距離也相等。

師：大家知道旁心嗎？

（大部分學生說“不知道”）

師：請大家看圖。（教師展示圖的兩種情況）是這種情況嗎？（學生仔細觀察并思考）

師：請問這時點在哪兒？

生L：在三角形外。

師：這兒有兩種情況，一種點的射影在三角形內部，一種在外部，它們到三角形三邊距離都相等。這是我們初中書上沒有的，有些老師補充過。

師：那么現在我們知道三角形有幾個心呢？

(全體學生說“五心”)

師：他思考問題深入、周密，很不錯！這種主動學習的精神值得大家學習。（全體學生鼓掌）

…………

四、講評拓展——詳細研究解題方法

師：請大家看第12題和16題。這組題主要考查三垂線定理、點到直線的距離、直角三角形的性質等，重點考查化歸轉化思想和計算能力、分析與解決問題的能力等。請一位同學說說，12題你當時是怎么做的？

生O：我當時是用證全等三角形的方法來做的。設P點在平面上的射影為O，則O該為斜邊AB的中點。

師：為什么？

生O：由題上的條件可證明ΔAOP≌ΔBOP≌

ΔCOP，從而OA=OB=OC。而ΔABC是直角三角形，∠C=90°。直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，以此可得出O點是AB的中點。

（全體學生鼓掌）

師：說得很好，前一段時間，有幾次你的數學都考得不夠好，這次很不錯，進步很大，希望你繼續努力。

師：注意抓住直角三角形的特點，并會在解題中應用。直角三角形的外心在哪兒？

（全體學生說“斜邊的中點上”）

師：好啦！請大家看第16題，這道題是選擇填空中錯得最多的。請回憶你怎么做的，誰來說說？

生R：當時做的時候，把等腰直角三角形與直角三角形弄混了，導致計算出錯，答案就錯了。

師：請看圖，字母標正確了嗎？

生R：有錯。（并指出錯誤）

師：（根據學生回答重標字母）請問該怎么做？

生R：作輔助線，使PH⊥AB。

師：為什么這樣做輔助線？

生R：因為題目要求找點P到AB的最小值。

師：P到AB的最小值能直接這樣找嗎？請問AB是線段還是直線？

生R：直線。錯了，該是線段。

師：過P作AB的垂線，垂足一定在AB線段上嗎？

生R：不一定。我當時想應該在上面，因為底面是直角三角形，且∠CAB=30°。

師：因∠ACB=90°，是不是先過C作AB垂線交AB于H，再利用三垂線定理知PH⊥AB。

（生R和全體學生說“對”）

師：好，你請坐，下面請大家看這個解答。（多媒體展示）我把16題稍微改了一下，請大家看，對了嗎？這個題的解答是一位同學做的。如果是選擇或填空，他做對了嗎？

（全體學生說“對”）

師：如果是解答題，則有問題。他把圖的字母標錯了。應該是PC垂直于平面，他畫成PA垂直于平面。我們有些同學常畫圖隨意，字母順序標注不正確。雖然自己心理明白，卻導致答案上出現問題，請大家以后多加注意。

師：好，接下來請同學上黑板做練習。下邊的同學可以自己做，也可以小組討論，交流合作解決。哪位學生上黑板來做？（生S舉手）

師：有請，需要我幫你畫圖嗎？這黑板易動，不好控制。

生S：謝謝老師。

（生S說作法，師畫圖，生T主動上黑板做題）

師：做好了的同學，請在小組內相互交流一下，看看有沒有不同的解法。

師：我們一起來回顧今天講的內容。今天講的題，始終都在考慮一個重要的數學思想——轉化。立體幾何中，基礎的問題通常借助實物來思考；復雜問題和復雜圖形就盡量向曾經熟悉的基本題、基本圖轉化，這是重要的解題原則。具體說來有如下原則：

（1）熟悉化原則：將陌生問題轉化為熟悉問題。

（2）簡單化原則：將復雜問題化為簡單問題。

（3）直觀化原則：借助實物或熟悉的圖形，將比較抽象的問題轉化為比較直觀的問題。

（4）正難則反原則：當正面討論問題感覺困難時，可以考慮從問題的反面去探究。

師：下來后請大家再認真分析試卷。針對錯題，找到相匹配的題，形成錯題集，彌補錯誤，以備今后復習用。

五、展示作品——提示關注書寫習慣

師：請看黑板，左邊這位同學做對了嗎？書寫怎么樣？（學生齊說“好”）

師：再看看右邊這位同學做對了嗎？

（全體學生說“對了”）

師：書寫怎么樣？（學生小聲議論）

師：我們要求大家訂好草稿本，平常練習當作正式作業對待。看看這位同學做的題，首先徒手畫圖不應該；書寫排列也有問題，分布不均。你期末考試書寫扣了1分，147分變成146分，以后要多注意書寫。

師：請大家看解答題的17、18題，這么多人錯了，為什么平均分還這么高？剛才兩個小組的同學也分析了，主要是書寫的原因。請大家看幾位同學的試卷。（展示臺上展示了兩份書寫較差的試卷）書寫潦草，答題過程很不規范，把答卷當作草稿紙對待，立體圖當作平面圖對待。還有這份試卷，也是千窗百孔的，本來可以做得很好的題卻沒有得到分。

師：讓我們一起來分享這份試卷，請大家看。（展示兩分寫得好的試卷，學生小聲評議、夸獎）值得一提的是，我們班以前有位書寫較差的同學，也是英語老師經常批評的同學。今天一起來看看他的期末考試的試卷，（展示試卷）請大家專心看。

師：書寫和作圖怎么樣？

（全體學生喊好并鼓掌）

師：我們做題要注重書寫。如果寫得不好可能會丟很多分，寫得好的學生請繼續努力。

● 教學意圖自述

一、“以人為本”教育觀是根本指導思想

本課對學生的學習與發展關系作了認真思考，強調學生的經歷、體會、感悟的過程學習，強調原有認知結構的推翻和新認知結構的建立，給學生提供了比較充足的活動空間、探索空間、創造空間，使每一個學生都動起來。通過自制教具的使用、生生交流、小組交流、師生互動，從“情感、態度、理性精神”等方面對學生進行關注和培養。

二、突出評講課的特點是基本著力點

本節課組織了學生的自評、小組的互評、教師的總評和點評等，既有對單元試卷進行的評析，又有對學生的課堂表現進行的評價。通過多種形式的課堂評價，使學生明白自己掌握知識的情況。學生在對照檢查中找出了自己的差距和不足，加深了對解題錯誤的認識。教師通過肯定、贊揚和激勵等形式，引導學生思考，教育學生服從理性，追求真理。

三、挖掘典型試題的價值是基本追求

對典型試題分析了以后，需要對解題規律進行總結提煉，幫助學生找到一般規律。同時通過對部分題目的引伸與拓展，開闊了學生的眼界，拓開了學生的思維，培養了學生刻苦鉆研的精神。

從某種程度上說，評講課效率的高低是進一步提高教學質量與效益的關鍵。目前中學數學教學中的評講課經常出現下列現象：許多教師在閱卷后，不對其作認真的分析、研究和備課就拿著試卷答案急急忙忙上評講課。其方法大都是花上幾節課，全由教師把試題從頭到尾地講一遍。還有的，就是對對答案，只選取幾個教師認為重要的試題講講，平鋪直敘，缺乏重點和針對性。遇到多次糾正過的錯誤，學生仍然出錯時，教師就焦慮急躁，大為惱火，把原因全歸于學生的“笨”上。甚至于一些教師把一節評講課變為了一節“訓斥課”。這種評講課，教師獨霸講臺，學生只是被動地聽，沒有充分參與到評講的過程中去，結果是教師辛苦，學生疲憊，教學效益低下，更談不上激發學生的積極性了，久而久之，教師認為評講課不好上，也不知如何上才好[1]24。而牟林老師的這一節試卷評講課，克服了傳統評講課的某些弊端，出現了許多的亮點，給我們耳目一新的感覺。

一、充分體現了數學評講課的特點

評講課主要由“評”和“講”兩部分構成。其中“評”是指評價，它是講評課的核心和主要特點?！霸u”的程度如何，“評”得恰當與否，將直接關系到學生數學學習的興趣和積極性，因而也就關系到數學教學的質量和效益[2]14。評講課中的評價，不是簡單地對分數分等排隊，主要以質性評價為主，激勵調動學生學習數學的興趣和積極性。評價的重點放在縱向評價，放在對學生個體過去與現在的比較和學生的發展變化與素質的增值上。

牟老師的這節課既有評又有講，而且充分體現了評講課“評價”的特點。在評的方式、方法上有許多值得欣賞的閃光之處。

（一）評總體

評總體是指通過分析和處理試卷反映出的信息，對全班學生某個單元或某個階段的學習與目標實現的程度作出整體的價值判斷與評估[2]14。牟老師在本節課上對這次測試進行了總體評價并利用多媒體展示了全班“成績分析表”，詳細地分析了各類型題的得分情況，使學生知道了全班同學對這部分知識理解與掌握的整體情況，便于自己對照檢查自己學習的差距與不足，也便于教師反饋和調節自己的教學。

（二）評個體

評個體是指通過分析和處理試卷反映出的信息，對學生個體某個單元或某個階段的學習與目標實現的程度作出個別的價值判斷與評估[2]15。評個體還包括對課堂上個別表現優秀學生的行為特征進行點評式的“評”。通過對個體學習狀況滿足學習目標與教育目標的程度、存在的問題及其原因的分析、評估，幫助學生了解自己學習目標的達成度，對自己的學習情況做到心中有數，從而有針對性地制定改進的措施。在課堂上，牟老師對好幾位學生的學習進步情況給與了激勵性的評價。如，對生O說：“前一段時間，有幾次你的數學都考得不夠好，這次很不錯，進步很大，希望你繼續努力?！睂φn堂上學生的即時表現，牟老師也及時地給予了評價。如當生K回答結束時，生L指出“當點O到三邊距離相等時，O點不一定是三角形的內心，它也可能是這個三角形的旁心?！苯處熂皶r地給與了評價：“他思考問題深入、周密，很不錯！”“三角形的旁心初中數學中沒有講，這是這位同學自己學習的。雖然他對旁心的概念說得不全對，但這種自主學習的精神是值得大家學習的?！?/p>

（三）評價主體多元

本節課中評價的主體多元，形式多樣，既有學生的自評，也有小組的互評，還有課堂上老師的點評。通過多種形式的評價，既使學生加深了對錯誤的認識，又讓學生能充分參與，積極思考，討論熱烈，使課堂氛圍輕松愉悅，效果很好。

二、剖析典型錯誤，有針對地進行補救強化

評講課中要對學生試卷中反饋出來的薄弱環節、典型錯誤，進行認真地剖析，及時予以矯正與補救，使之達到澄清認識，消除疑難，鞏固強化，完善數學認知結構的目的[1]24。牟老師這節課充分體現了評價課的目的。對學生的典型錯誤，他叫學生自己分析錯誤原因，再與之共同分析。通過對一些典型錯誤進行認真的剖析，引發學生產生內在的觀念沖突，進行自我否定，從而打破原有錯誤的認知平衡，建立新的、正確的認知平衡，并結合典型錯誤設計相應的題組進行補救訓練。這樣做的優點是能使學生的錯誤得到徹底糾正，達到強化訓練的效果，可以很好地解決一線教師們經常感到頭痛的錯誤重復現象。

三、挖掘典型試題的價值，延伸學習空間

一套試卷中往往都有一些具有開發價值的典型試題。這些典型試題有些含有深厚的背景，具備一定的代表性，而且往往都隱藏著一般的規律和方法，開發得好，可充分發揮其應有的價值和功能，提高學生的數學能力，促進學生的發展。如，老師對一些典型試題分析過后，及時地對解題規律進行總結提煉，對習題進行變式推廣。最后，教師對立體幾何解題中化歸和轉化思想進行了運用，提出了四個原則，很好地指出了學生今后學習的方向。這體現了教師認真備課、深入挖掘和開發典型試題的價值，對學生的思維發展和知識結構優化起到了很好的促進作用。

四、完成評講任務，提出商榷意見

評講課的主要目的是幫助學生糾正錯誤，彌補缺漏；加深理解，強化鞏固；拓寬思路，揭示規律；總結經驗，樹立信心；提高能力，促進發展[2]15。通過本節課的教學，我們可以看到牟老師這節課達到了這些目的，圓滿地完成了評講課的任務。但是，本節課也有以下幾點值得商榷。

第一，試卷分發后，教師強調了小組評價，但對學生自我評價引導得不夠。學生對整套試卷考查的目的、知識結構分析不夠，對教材的回歸還需加強。

第二，教師在指導學生評講時，只從知識上、板書上進行了指導，而沒有要求學生從邏輯、策略、心理等方面進行自我評析，評的內容不夠豐富。

第三，對錯誤的剖析，分類進行更好。本節課老師是按試題順序進行的，這樣評講就會產生很多重復，不易凸顯典型錯誤，不易引起學生對典型錯誤的高度關注。為了避免這種情況，可以把學生的錯誤按“知識性錯誤、邏輯性錯誤、策略性錯誤、心理性錯誤”進行分類歸納，再針對各類錯誤引導學生進行深入剖析，最后再設計相應的一組變式練習進行補救強化。這樣效果可能會更好。

雖然本節課有一些值得進一步研究的問題，但瑕不掩瑜。整體來說，本節課是一節亮點很多，優點突出，值得推薦的一節高效率、高質量的評講課。

參考文獻:

[1]王富英.數學復習中試卷評講課的探究[J].中國數學教育，2009，(5).

[2]王富英，馬岷興.試論試卷評講課中的“評”[J].中學數學教學，2008，(4).

（作者單位：1.成都市龍泉中學，成都 610100；2.成都市龍泉驛區教育研究培訓中心，成都 610100）

①王富英，男，特級教師，成都市龍泉驛區教育研究培訓中心教研員。