考慮流體靜壓時充液圓柱殼的輸入能量流特性

劉志忠 李天勻 張俊杰

華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢430074

考慮流體靜壓時充液圓柱殼的輸入能量流特性

劉志忠 李天勻 張俊杰

華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢430074

研究了內部流體靜壓力對充液圓柱殼的受迫振動能量流的影響。靜壓力作為預應力計入殼體振動方程當中，殼體和流體分別采用Flügge方程和Helmholtz波動方程。分析了耦合系統在周向線分布余弦載荷下的動態響應，用傅立葉變換和反變換實現空間域與波數域之間的相互轉換，采用留數定理求取系統的響應并得到耦合系統的輸入能量流。結果表明，周向模態數n＝0時，靜壓力對耦合系統的輸入能量流影響很小；n較大時，在中低頻下靜壓力使輸入能量流曲線沿頻率軸右移，由于輸入能量流的峰值點處的頻率對應于頻散曲線中各支傳播波的截止頻率，對應傳播波的截止頻率升高，高頻時則基本無影響。隨著靜壓力以及周向模態數的增大，輸入能量流受到的影響程度也增大。

充液圓柱殼；輸入能量流；靜壓力；留數定理

1 引言

高壓輸液、輸氣管道在船舶、石油、化工等工業領域有著重要的應用，其振動問題已有大量的研究。振動能量流方法是研究圓柱殼結構振動問題的有利工具。Fuller等［1］利用流固耦合理論，建立了充液圓柱殼的自由振動方程，討論了在低階周向模態下振動波的傳播特性，并得到了其自由振動的能量在流體和殼體內的分布。徐慕冰等［2］采用留數定理得到充液圓柱殼在周向余弦線分布載荷作用下的能量流輸入，并討論了沿著軸向傳播時的殼體內力和流體所攜帶的能量流隨頻率的變化規律。XU等［3］采用加阻尼數值積分方法得到充液圓柱殼的輸入能量流。這些文獻并未考慮管內流體的靜壓作用。汪勇和蘭波［4］采用殼體幾何非線性理論，通過在系統自振方程中引入附加剛度矩陣，分析了液體靜水壓力對圓柱形儲液容器自振頻率的影響。謝官模［5］用Harmilton原理和Green函數方法研究了環肋圓柱殼在環頻率以下頻段的聲輻射，討論了靜水壓力對殼體聲輻射特性的影響。Keltie［6］將靜壓力作為預應力項計入殼體自由振動方程，分析了靜水壓力對點激勵下流場中圓柱殼的結構響應及聲輻射的影響，并與空氣中的情況做了對比。

本文采用留數定理求取無限積分來得到系統的輸入能量流，研究了考慮靜壓作用下充液殼和未充液殼中的能量流輸入特性，并與不考慮靜壓時的情形做對比，考察了靜壓對系統能量流輸入的影響。

2 充液圓柱殼在周向線力作用下的強迫振動

假設無限長充液圓柱殼在截面x＝0處作用周向余弦線分布載荷為：

式中，F0表示在x＝0處的周向余弦分布力的幅值，N。

考慮內部充有流體的圓柱殼，假設圓柱殼為無限長薄殼，流體為理想流體。以x，θ和r分別表示殼體的軸向、周向和徑向，u，v和w表示殼體中面軸向、周向和徑向位移。圓柱殼的坐標系與周向模態數n如圖1所示。

圖1 圓柱殼坐標系和周向模態數n

靜壓力引起的初始應力包括周向應力和軸向應力。計及靜壓力，無限長薄圓柱殼自由振動的方程采用Flügge方程［7］。

方程的解采用如下形式：

滿足柱坐標系下的Helmholtz波動方程的流體聲壓場解為：

式中，kns為軸向波數，krs為徑向波數，Jn（）為第n階Bessel函數。

在流體與殼體的接觸面上，流體徑向位移必須等于殼體的徑向位移，即

將式（2）、式（3）中的殼體位移、流體載荷以及外作用力做傅立葉變換并代入到式（1）、式（4）中，便得到此耦合系統的受迫振動方程，用矩陣形式表示為：

當內部沒有充液而是充滿輕流體時，可以不考慮流體影響，此時FL＝0。

式（5）兩邊同時左乘矩陣L3×3的逆矩陣I3×3，因而波數域中的位移為：

對式（6）做傅立葉逆變換，得到空間域的位移，

由式（7）可知I13，I23和I33的奇點即頻散方程det L＝0的根，那么運用留數定理有

耦合系統在外線分布載荷作用點x＝0處的徑向位移為：

單位長度外線力輸入到系統的能量流為：

其中，*表示復共軛。由能量流的定義，外力輸入到系統的能量流為：

將輸入能量流無量綱化為：

3 計算結果與討論

殼體參數：材料為鋼，彈性模量E＝1.92×1011N／m2，泊松比μ＝0.3，密度ρS＝7 850 kg／m3，殼厚比h／R＝0.02。流體參數為：自由波傳播速度Cf＝1 500 m／s，液體密度ρf＝1 000 kg／m3。

本文僅用傳播波對應的留數計算積分值，這樣只需求取頻散方程的實根，采用二分法可較容易地求解。文獻［2］中表明，僅用傳播波對應的留數計算積分與考慮共軛駐波和近場衰減波的結果完全一致。

圖2表示周向波數n＝0，1，2，5時在初始內壓作用下充液圓柱殼的輸入能量流。圖中3組曲線分別表示在靜壓力P＝0 MPa、1 MPa和10 MPa下充液圓柱殼的輸入能量流隨頻率變化曲線，P＝0 MPa表示不考慮靜壓力影響。由圖2中的結果可得到以下結論。

1）對任何周向模態，P＝1 MPa時的輸入能量流曲線基本與P＝0 MPa時的輸入能量流曲線完全重合，這時考慮流體靜壓力對系統輸入能量流沒有影響。

2）當靜壓力P＝10 MPa時，對任何周向模態，靜壓力使Ω＝0.7處的能量流峰值降低，其原因是靜壓力使殼體的剛度增大，輸入能量流減小。而在環頻率以上的中高頻范圍內靜壓力對輸入能量流基本無影響，這是由于第一支傳播波的能量流輸入占整個能量流輸入的絕大部分；當周向模態數n＞1時，可以看到曲線在環頻率（Ω＝1）以下向右平移，并且無論是否考慮靜壓力的影響，在低頻外載荷沒有輸入能量流，其原因是低頻時耦合系統中沒有傳播波。

3）當n＞1時，對照圖2中P＝10 MPa和P＝0 MPa的能量流曲線，發現在開始有能量流輸入后會有一個尖峰，并且P＝10 MPa的能量流曲線的峰值明顯比P＝0 MPa的峰值大。

4）對照圖2（d）中輸入能量流曲線和圖3中的頻散曲線，可以發現相同流體靜壓力下輸入能量流的峰值點相應的頻率對應于頻散曲線中傳播波的起始頻率。

圖2 考慮靜壓力下充液圓柱殼的輸入能量流

圖3 充液圓柱殼中頻散曲線（n＝5）

4 結論

對殼體中振動能量流的輸入進行了研究，考慮了內部初始靜壓力的影響。通過考慮靜壓力的輸入能量流曲線與不考慮靜壓力的輸入能量流曲線對比，得出以下結論。

1）靜壓力對充液圓柱殼與未充液圓柱殼中的輸入能量流特性的影響一致。

2）對任何周向模態，較小的靜壓力對殼體中能量流的輸入基本沒有影響。

3）靜壓力較大時，在低階周向模態時對輸入能量流基本沒有影響；在高階周向模態時，靜壓力使Ω＝0.7處的能量流峰值降低，并且使輸入能量流的起始頻率升高。

［1］FULLER C R，FAHY F J.Characteristics of wave propagation and energy distributions in cylindrical elastic shells filled with fluid［J］.Journal of Sound and Vibration，1982，81（4）：501－518.

［2］徐慕冰，張小銘，張維衡.充液圓柱殼受迫振動的能量流輸入及傳播［J］.聲學學報，1999，24（4）：391－399.

［3］XU M B，ZHANG W H.Vibrational power flow input and transmission in a circular cylindrical shell filled with fluid［J］.Journal of Sound and Vibration，2000，234（3）：387－403.

［4］汪勇，蘭波.液體靜水壓力對圓柱形儲液容器自振頻率的影響［J］.重慶交通學院學報，1997，16（2）：75－79.

［5］謝官模.靜水壓力對環肋圓柱殼聲輻射的影響［J］.武漢工業大學學報，1995，17（1）：77－79.

［6］KELTIE R F.The effect of hydrostatic pressure fields on the structural and acoustic response of cylindrical shells［J］.Journal of the Acoustical Society of America，1986，79（3）：595－603.

［7］FlüGGEE W.Stresses in Shells［M］.Second Edition.New York：Springer－Verlag，1973.

Input Vibration Power Flow in Fluid-filled Cylindrical Shells Considering Hydrostatic Pressure

Liu Zhi－zhong Li Tian－yun Zhang Jun－jie
College of Naval Architecture and Ocean Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China

The effects of internal hydrostatic pressure on input vibration power flow in cylindrical shells filled with fluid were investigated.The hydrostatic pressure was modeled using static pre－stress terms in the shell equations of motion.The structural and fluid equations of motion were taken from Flügge thin shell theory and Helmholtz wave equation respectively.By using the Fourier transform and its inverse transform and applying residues theorem，the input power flow into the coupled system under a line circumferential cosine harmonic driving force was studied.The results showed that the hydrostatic pressure had practically no effect on input power flow for circumferential mode order n＝0.For high circumferential modes，the input power flow curves translated to right along frequency axis when considering hydrostatic pressure at mid and low frequencies.Since the frequencies of the peaks in the input power curve corresponded to the cut－on frequencies of the propagating waves in the dispersion curves，the cut－on frequencies of the corresponding propagating waves increased.For higher pressure and larger circumferential mode order，the effects input power flow was more significant.

fluid－filled cylindrical shell；input power flow；hydrostatic pressure；residues theorem

O328

A

1673－3185（2009）02－20－04

2008-11-03

總裝備部預研基金

劉志忠（1980－），男，博士研究生。研究方向：結構振動與噪聲控制。E-mail：hichrisliu＠163.com

李天勻（1969－），男，教授，博士生導師。研究方向：船舶與海洋工程結構力學