基于加權最小二乘法的武器裝備批量生產成本費用研究

張 侃 劉寶平 叢 琳

海軍工程大學裝備經濟管理系，湖北 武漢430033

基于加權最小二乘法的武器裝備批量生產成本費用研究

張 侃 劉寶平 叢 琳

海軍工程大學裝備經濟管理系，湖北 武漢430033

加權最小二乘法考慮了現實情況下普遍存在的異方差性，在經濟預測中有著更為廣泛的應用。在系統研究我國武器裝備批量生產規律和狀況的基礎上，結合計量經濟的相關理論，提出基于加權最小二乘法的費用預測模型，并輔以實例進行分析，結果表明，該方法移植性好，由于消除了異方差性的影響，模型的擬合和預測性能較一般最小二乘法更佳。

費用評估；批量生產；武器裝備；異方差性；加權最小二乘法

1 引言

對于任何武器裝備而言，在其研制成功后要形成相應的戰斗力，就必然要求具備相應的數量規模。因此，武器裝備的生產是一種批量生產，能否準確把握武器裝備批量生產費用的規律，進而對武器裝備批量生產費用進行控制和預測，對實現武器裝備購置費用使用效益的最大化有著積極的指導意義。在武器裝備的實際生產中，其成本費用往往不能夠準確預測，這主要是由于武器裝備生產中存在的異方差性造成的。使用加權最小二乘法對武器裝備成本費用進行預測能夠很好地解決這一問題。與一般最小二乘法相比，加權最小二乘法消除了異方差性的影響［1，2］，其預測精度更高，因而具有更為廣泛的實際應用前景。

2 武器裝備批量生產成本規律

根據長期以來的生產實踐，我們發現：隨著武器裝備生產數量的增加，其單位成本費用不斷下降并逐漸趨于穩定，叫做熟練曲線［3］，它的存在已經被大量的生產實踐所證實。當武器裝備的生產量不斷增加時，單位武器裝備的生產成本按照一定的比例下降。影響熟練曲線的因素有很多，如：生產工藝和方法，采購批量數，產品類型，物價水平，總生產量，生產地區差異等等。據此建立武器裝備各項成本費用按批量變化的非線性數學回歸模型：y＝A·xb。其中，y為第x件武器裝備的成本費用；x為武器裝備數量；A，b為模型的回歸參數。

3 加權最小二乘法基本原理

3.1 多元線型回歸模型

在實際經濟問題中，一個變量往往受到多個變量的影響，表現在線性回歸模型中的解釋變量有多個，這樣的模型叫做多元線性回歸模型［4］。多元線性回歸模型的一般形式為：

其中k為解釋變量的數目，βj（j＝1，2，…，k）稱為回歸系數，μi（i＝1，2，…，n）為隨機誤差項。我們把上面的公式叫做總體回歸函數的隨機表達形式。對于模型中參數的求法，可以根據最小二乘估計［5］（OLS）原理，參數估計值應使殘差平方和達到最小。

3.2 加權最小二乘法

在進行多元線性回歸模型分析時，如果隨機干擾項序列出現異方差性，即對于模型：

出現了Var（μi）＝σ，i＝1，2，…，n的情況，則不能直接使用OLS方法進行參數估計［6－8］，而必須采取補救措施或發展新的估計方法。最常用的方法是對原模型加權［9］，使之變成一個新的不存在異方差性的模型，然后采用OLS方法估計其參數，該方法就是WLS方法，它是對加了權重的殘差平方和實施OLS的方法：

其中，wi為權數。一般情況下，對于模型的矩陣形式Y＝Xβ＋μ，若存在

即存在異方差性。顯然，W是一對稱正定矩陣，因此存在一可逆矩陣D，使得W＝DD′，用D－1左乘兩邊，得到一個新的模型：

可檢驗該模型具有同方差性，于是用OLS估計模型參數，有

對于權矩陣，可得

其中，e~i為隨機干擾項的 “近似估計量”，有i＝

4 實例分析

本文引用某型武器系統的實際生產相關數據來分析該理論。見表1。

表1 某廠生產的某型武器系統的指標數據

從表1中可以發現，無論是材料1、材料2的耗費，還是生產工時，都是隨著批量的增加而減少并趨于穩定的，它們和批量之間呈現出負指數關系。我們以材料1為例，運用批量生產規律公式進行擬合，要將非線性問題轉化為線性問題。設變量x為生產序列號，變量y為相應的材料消耗。通過函數變換可以得到回歸公式lny＝lnA＋blnx，對材料1耗費曲線方程參數lnA和b進行顯著性檢驗，這里采取t檢驗，分別記作t1、t2，在給定顯著性水平α＝0.05，t0.025（8）＝2.306的情況下，通過了變量的顯著性檢驗。同理，我們對材料2的耗費及生產工時也做類似處理后得表2。

從已知的指標數據中可以看出，某型武器生產的總成本和材料1、材料2及生產工時有著緊密的聯系，隨著生產材料耗費的節約，生產工時的縮短，帶來了生產成本的下降，它們之間呈現出一種多元的線性關系。因此，我們可以建立多元線性回歸模型來進行描述。一般來講，在實際生產過程中，由于生產的時間先后有差異，生產所需的材料批次、質量、價格不同，還有一些隨機誤差因素的存在，因而使得武器生產的總成本存在異方差性，OLS方法不能很好地解決這個問題，因此我們對其進行改進，采用WLS方法可以得到比較滿意的結果。運用OLS方法和WLS方法分別求解，預測模型分別為：

一般最小二乘法：

y＝－183．974＋1．0056x1＋0．8731x2＋0．781x3

加權最小二乘法：

y＝－97．4634＋0．8854x1＋0．6880x2＋1．2056x3

其中y為總成本，x1為材料1的耗費，x2為材料2的耗費，x3為生產工時。比較二者擬合結果的差異如見表3所示。

表2 某廠生產的某型武器各項要素回歸模型、參數及下次預測值

表3 OLS方法和WLS方法對比差異

從表3可見，WLS方法得到的結果更為精確，與實際值更為接近，其最大誤差為3.56%，而OLS方法的最大誤差為7.79%，說明WLS方法的擬合性更好。同時，可得下一次的總成本預測值為1 170，與實際值1 166更為接近，而OLS方法預測結果為1 173.4，說明WLS方法的外推性也更好。從圖1中可以更為直觀地反映二者的差異。

5 結束語

本文主要探討了在武器裝備批量生產的過程中使用WLS方法進行費用預測的問題。由于存在異方差性，因而使用WLS方法比OLS方法能夠得到更為準確的預測效果，通過實證分析，WLS方法的移植性較好，用于武器裝備批量生產成本預測時，在擬合性與外推性上均與實際值更為接近。WLS方法還可以推廣到存在異方差性的其他環節，諸如艦船的定期維修費用預測、零件的批量更換等，同樣具有非常積極的意義。

圖1 一般最小二乘法與加權最小二乘法差異圖

［1］LI Cai，HAYES A F.A new test of linear hypotheses in OLS regression under heteroscedasticity of unknown form［J］.Journal of Educational and Behavioral Statistics，2008，32（1）：21-40.

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Cost Assessment on the Batch Manufacturing of Weaponry Using Weighted Least Squares Method

Zhang Kan Liu Bao－ping Cong Lin
Department of Equipment Economy Management，Naval Univesity of Engineering，Wuhan 430033，China

The heteroscedasticity are usually considered in applying the Weighted Least Squares（WLS）method，and it has a wide range of applications in economic forecast.A cost forecasting model was put forward using WLS method，which was based on a combination of studies on the batch manufacturing practice of weaponry and relevant econometric theory.The results of analyses by this model show that it can eliminate the impact of heteroscedasticity on the forecast works，and achieve a better forecast and fit of model than common WLS method.

cost assessment；batch manufacturing；weapon and equipment；heteroscedasticity；weighted least squares

U674.035

A

1673－3185（2009）02－78－03

2008-10-10

海軍工程大學科研基金資助項目（HGDJJ08042）

張 侃（1985－），男，碩士研究生。研究方向：裝備經濟管理。E-mail：zhangkanlingling＠yahoo.com.cn

劉寶平（1963－），男，副教授，碩士生導師。研究方向：裝備經濟管理