綜合運用數學思維方法　發展學生數學思維能力

謝惠良

師：今天，我們一起來學習——平行四邊形的面積計算。每個小方塊的面積是1平方厘米，你能知道下面圖形的面積是多少嗎?

電腦逐個出示：

師：(電腦出示下圖)你能想辦法求出這個平行四邊形的面積嗎?(學生獨立思考，動手操作，嘗試計算平行四邊形的面積。教師巡視。)

師：你量了平行四邊形什么的長度?怎樣計算它的面積?

生：我量了平行四邊形的底是7厘米，旁邊的一條邊是5厘米，算式是7×5=35(平方厘米)。

生：我量了平行四邊形的底是7厘米，高是4厘米，算式是7×4=28(平方厘米)。

師：同學們，同一個平行四邊形的面積怎么會有兩個答案呢?到底怎樣思考才是正確的呢?(學生前后四人小組進行討論。)

師：請小組代表說說你們是怎么思考的。

生：我們沿著平行四邊形的高把圖形剪開，將左邊的三角形拼到右邊，正好是個長方形，它的長是7厘米，寬是4厘米，面積是28平方厘米。

師：把平行四邊形割補成長方形，圖形的什么變了，什么沒有變?

生：圖形的形狀變了，面積大小沒有變。

師：所以，原來的平行四邊形的面積是28平方厘米。

師：那么，用平行四邊形的底7厘米乘旁邊的邊5厘米，計算出面積35平方厘米，你認為對不對?你知道他們怎么會想到這種方法的嗎?

生：他們是這樣想的：計算長方形面積時用長方形的長和寬這兩條相鄰邊相乘，所以，計算平行四邊形面積也用兩條相鄰邊相乘。

師：XX同學你剛才是這樣想的嗎?

生：是的。

師：你敢于思考，真好!但這種想法是不是正確呢?讓我們一起來檢驗吧。

師：現在，老師把長方形拉成平行四邊形。平行四邊形的底及鄰邊的長各是多少?面積與原長方形相比，怎么了?(見上圖)

生：底與鄰邊的長分別是7厘米和5厘米，但面積比剛才的長方形面積小了。

師：如果繼續往下拉，你們想一想平行四邊形的面積將會怎么變化?

生：平行四邊形的面積將會變得更小。

師：從中你們發現什么?

生：平行四邊形的面積不能用底與鄰邊相乘，而應該用割補的方法將平行四邊形轉化成長方形來算出它的面積。

師：是不是所有的平行四邊形都能用割補的方法轉化成長方形，從而來求出它的面積呢?請同學們拿出各自的平行四邊形，動手剪剪拼拼，看看行不行。(學生進行操作實踐，加以驗證。)

師：你們手中的平行四邊形能不能轉化成長方形?誰愿意在投影儀上演示給大家看?(學生爭著上來演示：沿著平行四邊形的高剪開，拼成長方形。)

師：有沒有不能拼成長方形的?(學生都認為沒有。)

師：由此看來，對于任何一個平行四邊形，要計算它的面積，我們都可以怎么想?

生：我們都可以用割補的方法將平行四邊形轉化成長方形來算出它的面積。

師：怎么計算平行四邊形的面積呢?(學生分組討論。)

師：現在你能告訴大家，計算平行四邊形的面積為什么用平行四邊形的底乘高?

生：因為用割補的方法把平行四邊形轉化成長方形，面積不變。我們發現，長方形的長相當于平行四邊形的底，寬相當于平行四邊形的高，所以平行四邊形的面積是底乘高。

結合學生回答，教師電腦演示。(略)

[評析]

上述教學案例，從思維方法的運用角度進行分析，體現了以下幾個特色：

一、放手讓學生從自己的思維實際出發，主動運用探索、發現性的思維方法，對新的數學問題進行嘗試探索，猜測驗證結論，有效地培養了學生的探索精神和探究新知識的能力。

教師首先出示三個圖形讓學生通過比較，在直觀的基礎上。利用圖形的轉化，直接說出了它們的面積，滲透了轉化的數學思想方法。這樣，學生面對“計算平行四邊形的面積”這一新問題，就很自然地得到了兩種猜測：用平行四邊形相鄰兩邊相乘(以前學習的長方形面積計算公式等知識的負遷移)和用平行四邊形的底乘高(轉化思想方法的運用)。進而。教師提出“同一個平行四邊形的面積怎么會有兩個答案呢?”的問題，激發學生一探究竟。學生通過實驗驗證了“用底乘高”的猜測是正確的，通過觀察圖形的動態變化，在比較中發現“用相鄰兩邊相乘”是錯誤的。

二、以數學知識教學為載體。啟發學生運用求證、整理性的思維方法，對發現的結論進行邏輯的論證，培養了學生的邏輯思維能力與數學精神。

在學生算出了平行四邊形(底7厘米，高4厘米)的面積后。提問：對于任意一個平行四邊形是不是都可以用這樣的方法去算出它的面積呢?讓學生再通過實踐操作進行驗證推廣。滲透從特殊到一般的推理方法：進而提問：計算平行四邊形面積為什么用平行四邊形的底乘高?啟發學生運用邏輯推理。根據平行四邊形與割補后的長方形之間的關系，推導出平行四邊形的面積計算公式，再將其公式抽象成字母表達式。

三、根據數學知識發現的一般規律，將數學思維方法綜合運用，讓學生在“大膽猜測，小心求證”的過程中，發展主動獲取知識的能力和受到科學思想方法的啟蒙。

上述教例，采用先讓學生“大膽猜測”，再進行“小心求證”的教學思路。這樣的過程，既不同于由一般到特殊的演繹過程，也有別于由具體到一般的歸納過程。它是一種發現并填補認知的空隙。即定向探索解決問題的研究過程，這符合數學知識發現的一般規律，因而具有比較一般的方法論意義。在這一過程中。學生首先運用了側重于發現性的思維方法，大膽猜測結論，在初步驗證結論的基礎上，再運用側重于整理性的思維方法，小心求證結論。這樣的數學思維方法組合運用。有效地訓練了學生綜合運用思維方法主動獲取知識的能力。