解題后反思　讓學生思維繼續飛翔

張　蘭

一道數學題經過一番艱辛,冥思苦想解出答案后,必須認真進行如下探索:命題的意圖是什么?考核的概念、知識和能力是什么?驗證解題結論是否正確合理,命題所提供的條件的應用是否完備?求解論證過程是否判斷有據,嚴密完善?本題有無其他解法——一題多解?多題一解?通過解題后改進解題過程、探討知識聯系、知識整合、探究規律等一系列思維活動,讓學生的思維在解題后繼續飛翔。這是解題過程中更高一級的思維活動。為了讓學生思維繼續飛翔,提高解題能力,應該倡導和訓練學生進行有效的解題反思。

1 積極反思,查缺補漏,確保解題的合理性和正確性

解數學題,有時由于審題不準確,概念不清,忽視條件,套用相近知識,考慮不周或計算出錯,難免產生這樣或那樣的錯誤,即學生解數學題,不能保證一次性正確和完善。所以解題后,必須對解題過程進行回顧和評價,對結論的正確性和合理性進行驗證。可是一些學生把完成作業當成是趕任務,解完題目便以為結束,由此產生大量謬誤,應該引起重視,加以克制,引以為戒。如:結論荒唐,引為笑柄;以特殊代替一般;臆造“定理”,判斷無據,以日常概念代替科學概念。以上常見的錯誤不勝枚舉。由此可見,解題反思的積極意義及其重要性,必須引起師生在教學中的足夠重視。

2 積極反思,探求一題多解和多題一解,提高綜合解題能力

數學知識有機聯系、縱橫交錯,解題思路靈活多變,解題方法途徑繁多,但最終卻能殊途同歸。即使一次性解題合理正確,也未必就是最佳思路,最優最簡捷的解法。不能解完題就此罷手,如釋重負,應該進一步反思,探求一題多解、多題一解的問題,開拓思路,勾通知識,掌握規律,權衡解法優劣,在更高層次更富有創造性地去學習、摸索、總結,使自己的解題能力更勝一籌。一題多解,每一種解法可能用到不同章節的知識,這樣一來可以復習相關知識,掌握不同解法技巧,同時每一種解法又能解很多道題,然后比較眾多解法中對這一道題哪一種最簡捷、最合理?把本題的每一種解法和結論進一步推廣,同時既看到知識的內在聯系、巧妙轉化和靈活運用,又善于總結,掌握規律,探求共性,再由共性指導去解決碰到的這類問題,梳理出一類題的一般方法和思路,這對提高解題能力尤其重要。

3 積極反思、系統小結,使重要數學方法、公式、定理的應用規律條理化,在解題中應用自如、改進過程,尋找解

題方法上的創新

問題解決之后,要不斷地反思:解題過程是否浪費了重要的信息,能否開辟新的解題通道?解題過程多走了哪些思維回路,思維、運算能否變得簡捷?是否拘泥于思維定勢,照搬了熟悉的解法?通過這樣不斷質疑、不斷改進,讓解題過程更具有合理性、科學性、簡捷性。

如求證:正四面體和正八面體相鄰兩側所成的二面角互補。此題有常規的解題思路:分別求出2個多面體的二面角的值,再求和。這也是一般參考書上的解法。探索解題過程,總感覺這樣解題很笨拙,缺少靈氣,不能反映2個多面體的巧妙結構。事實上,問題隱含了“結構”這個重要信息,那么能否把“結構”作為切入點去探究問題呢?

4 重視知識的遷移和應用,探究問題所含知識的系統性

解題之后,要不斷地探究問題的知識結構和系統性。能否對問題蘊含的知識進行縱向深入的探究?能否加強知識的橫向聯系?把問題所蘊含的孤立的知識“點”,擴展到系統的知識“面”。通過不斷的拓展、聯系,加強對知識結構的理解,進而形成認知結構中知識的系統性。

5 整合知識,創新設問

要讓學生明白,問題與問題之間不是孤立的,許多表面上看似無關的問題卻有著內在的聯系,解題不能就題論題,要尋找問題與問題之間本質的聯系,要質疑為什么有這樣的問題?它和哪些問題有聯系?能否受這個問題的啟發,將一些重要的數學思想、數學方法進行有效整合,創造性地設問?讓學生在不斷的知識聯系和知識整合中,豐富認知結構中的內容,體驗“創造”帶來的樂趣,這對培養學生的創造性思維是非常有利的。

6 探究規律,形成小結

對每個問題都要尋根問底,能否得到一般性的結果,有規律性的發現?能否形成獨到的見解,有自己的小發明?點滴的發現,都能喚起學生的成就感,激發學生進一步探索問題的興趣。長期的積累,更有利于促進學生認知結構的個性特征的形成,并增加知識的存儲量。

總之,解題后引導學生不斷對問題進行觀察分析、歸納類比、抽象概括,對問題中所蘊含的數學方法、數學思想進行不斷的思考并做出新的判斷,讓學生體會解題帶來的樂趣,享受探究帶來的成就感。長此以往,逐步養成學生獨立思考、積極探究的習慣,并懂得如何學數學,這是學好數學的必要條件。

(作者單位:江蘇省鹽城市建湖縣第二中學)