數學解題的教學

彭興勝

數學教學的目的是使學生掌握必要的數學知識,并會應用所學知識解決實際問題;而檢測學生的數學知識水平及數學能力的有效途徑就是解數學題,所以數學教學的主要任務是解題教學。通過解題教學,可以鞏固學生所學知識,又可以培養學生的思維能力。因此,解題教學的成敗直接決定學生學習數學的成敗。

學習數學的目的是會用數學知識解決實際問題。數學教學的最終目標是要培養學生善于把數學知識應用于解答實際問題的能力,而許多數學題又來源于實際,是實際問題的抽象模型。所以,要學會運用數學知識分析和解決實際問題,就要先學會解數學題。

美國數學家哈爾莫斯指出:“問題是數學的心臟,數學家存在的理由就是解問題,因此,數學的真正的組成部分是問題和解。”著名數學家波利亞也曾說過:“掌握數學就意味著善于解題,不僅善于解一些標準題,而且善于解一些要求獨立思考、思路合理、見解獨到和有發明創造的題。”[1]

解題教學是學習數學和應用數學的鏈接點,是實現教學目的重要途徑。解數學題是測試學生的數學知識水平,評估學生的智力發展水平以及了解學生的數學能力等的重要手段和依據。數學的解題教學不僅可以使學生適應各種必要的水平測試,而且可以實現解數學題的根本目的,使學生在學會解題的過程中學好數學的基本知識,發展數學能力,培養科學態度和辯證唯物主義觀點。由此可見,中學數學教學的首要任務就是加強解題訓練。

解題是一項系統工程,解每一道題都不是獨立的。解題需要綜合運用數學基礎知識、解數學題的方法、數學的思維方法、解題經驗、邏輯知識、解題的思維品質和對數學的興趣,以及語文水平、社會生活知識和其他學科知識等。這些相關因素對于不同的人,或者同一個人不同的學習階段和不同的題都是不同的,解題者由這些因素所引起的解題障礙也是千差萬別的。所以在解題教學中,要針對學生表現出來的某些因素的缺陷,因材施教,加強其相應知識的教學和有關能力的培養。

怎樣進行解題教學呢?根據解題所涉及的各種因素,解題教學的工作是多方面的、無限的,但關鍵的要做好以下4點。

1)要注重數學基礎知識的教學,加深理解概念,幫助學生打好解題的基礎。數學概念是整個數學宮殿的基石。事實上,許多數學題目都是概念的派生物或概念的變式或是由概念等基礎知識構成的。數學題的解答都是反復運用基礎知識的過程。所以理解和掌握數學基礎知識是數學解題的必要前提,同時解題也是鞏固基礎知識的最好途徑。

2)解題教學中要注重學生解題思路的指導。數學教學最關鍵的是教給學生方法,要讓學生能“舉一反三”“以一當百”。在解題教學中要教給學生解題的“三步曲”。

第一步,觀察。觀察是人們認識事物、增長知識的基本途徑,是發現和解決問題的前提,是聯想的基礎。只有全面、深入、正確地觀察,去透過現象、認識本質,才有可能聯想有關知識制定解題策略。要讓學生遇到數學題時,仔細觀察,要弄清楚題目:要求解(證)的問題是什么?它是哪種類型的問題?題目告訴我們什么?要求的結論是什么?所給的圖形或式子有什么特點?能否用圖示表達題中的有關量?題目有沒有隱含條件?

第二步,聯想。聯想是轉化的翅膀,要善于從問題的條件和結論出發聯想有關的知識,從中尋找解題途徑。遇到數學題要想:這個問題以前見過嗎?以前做過類似的問題嗎?當時是怎樣做的?題中所給的式子、圖形與自己熟悉的式子、圖形相像嗎?它們之間可能有什么聯系?與這個問題有關的知識(基本概念、定理、公式等)有哪些?由題目的已知條件能推出什么?要求的結論需要什么?未知和已知之間能否聯系起來?解這類題通常有哪些方法?用哪一種方法可能較簡便?

第三步,轉化。轉化是解題的手段,在轉化中確定解題方案。通過觀察和聯想,要會把題中復雜的式子化簡,把問題轉化為幾個小問題,正面解決困難能否轉化為求其反面(正難則反),幾何問題能否轉化為用代數法、代數問題能否轉化為用幾何法(數形結合),能否把未知轉化為已知,等等。通過這一系列的轉化,從而找到解決問題的方法。

3)注重數學思想方法的滲透,培養學生的數學思維能力。在解題教學中要注重數學思想方法的滲透,加強通性通法的指導與訓練,培養學生的數學思維能力。解題是需要方法的,要在解題教學中教會學生掌握必要的數學方法技能和數學思想,特別是數形結合思想、分類討論思想、方程與函數思想、換元思想、轉化與化歸思想等。這些數學思想方法是數學的精髓,要在解題教學中對這些思想方法進行歸納總結,并加以應用,才能把數學知識與技能轉化為分析問題、解決問題的能力,從而提高學生的解題技能。

4)解題后要總結反思,積累解題經驗。“學而不思則罔”,要在解題后引導學生反思,反思解題過程中的思想方法、思維方式,把數學教學的過程轉化為數學思維活動的過程。要想這個題如果條件改變后得什么?結論變后需要什么條件?這道題還有沒有其他解法?通過一題多解、一題多用、一題多變培養學生思維的靈活性。而對做錯的題要建立一個“錯題集”,把容易做錯的題歸類整理,認真分析,總結錯誤原因,從中汲取解題教訓,從而不斷總結解題經驗,優化解題。

參考文獻

[1]波利亞.怎樣解題[M].閻育蘇,譯.北京:科學出版社,1982

(作者單位:貴州省畢節地區織金縣第五中學)