數學思想在教學中的運用

王　翔　桑志英　劉金元

從小學數學過渡到初中數學，學習的內容、方法都是個轉折，尤其是數學思想的運用要產生質的飛躍。初一數學教材蘊含了數學思想，這些數學思想在學生的數學學習中又要不斷地運用與提高。因此把握好初一教材中的數學思想的運用是很重要的。

符號思想

用字母符號表示數是由特殊到一般的抽象，是中學數學中重要的代數方法。初一教材第一章代數初步知識的引言中，就蘊涵用字母符號表示數的思想。教師先讓學生在引言實例中計算一些具體的數值，啟發學生歸納出用字母表示數的思想，認識到字母表示數具有問題的一般性，也便于問題的研究和解決，由此產生從算術到代數的認識飛躍。

學生領會了用字母符號表示數的思想，就可順利地進行以下內容的教學：用字母表示問題如代數式概念，列代數式；用字母表示規律如運算定律，計算公式，認識數式通性的思想；用字母表示數來解應用題等。因此，用抽象字母符號表示具體數的思想，對指導學生學好代數、入門知識能起關鍵作用，為后續代數學習奠定基礎。

分類思想

數學問題的研究中，常常根據問題的特點，把它分為若干種情形，以利于問題的研究和解決，這就是數學分類的思想。初一教材中的分類思想主要體現在：有理數的分類；絕對值的分類；整式分類。教學中，要向學生講清分類的要求（不重、不漏），分類的方法（選擇標準），使學生認識分類思想的意義和作用。只有通過分類思想的教學，才能使學生真正明確：一個字母，在沒有指明取值范圍時，可以表示大于零、等于零、小于零的三種情形。這樣，學生做一些有關分類討論的題也就不易出錯，使學生養成運用分類思想解題的習慣，培養嚴謹分析問題的能力。

數形結合的思想

將一個代數問題用圖形來表示，或把一個幾何問題記為代數的形式，通過數與形的結合，可使問題轉化為易于解決的情形，常稱為數形結合的思想。初一教材第二章的數軸體現數形結合的思想。教學時，要講清數軸的意義和作用，使學生明確數軸建立數與形之間的聯系的合理性。任意一個有理數可用數軸上的一個點來表示，從這個數形結合的觀點出發，利用數軸表示數的點的位置關系，使有理數的大小，有理數的分類，有理數的加法運算、乘法運算都能直觀地反映出來，也就是借助數軸的思想，使抽象的數及其運算方法易于學生理解和接受。充分運用數形結合的思想，就可突破有理數及其運算方法的教學困難。數形結合還要求數學教學中要培養學生初步的空間觀念，使學生對物體的形狀、大小、位置、方向、距離等有明確的認識，對學過的形體以及接觸過的物體、場地、河山等能夠在頭腦中形成表象，并借助表象進行思考，以解決數學問題。

方程思想

方程的思想，就是一些求解未知的問題，通過設未知數建立方程，從而化未知為已知（有時又稱代數解法）。代數解法從一開始就抓住包括已知數、未知數的整體，在這個整體中未知數與已知數的地位是平等的，通過等式變形，改變未知數與已知數的關系，最后使未知數成為一個已知數。而算術解法，往往是從已知數開始，一步一步向前探索，直到解題基本結束，才找出所求未知數與已知數的關系。這樣的解法是從把未知數排斥在外的局部出發的，因此未知數對已知數來說其地位是特殊的。與算術解法相比，代數解法顯得居高臨下，省時省力。通過方程思想的教學，學生對用字母表示數及代數解法的優越性得到深刻的認識，激發他們學好方程知識，運用方程思想去解決問題。由此，學生用代數方法解決問題和建立數學模型的能力得到了培養。

化歸思想

化歸思想是把一個新的（或較復雜的）問題轉化為已經解決過的問題上來。它是數學最重要、最基本的思想之一。初一數學中化歸思想主要體現在：1）用絕對值將兩個負數大小比較化歸為兩個算術數的大小比較；2）用絕對值將有理數加法、乘法化歸為兩個算術數的加法、乘法；3）用相反數將有理數的減法化歸為有理數的加法；4）用倒數將有理數除法化歸為有理數的乘法；5）把有理數的乘方化歸為有理數的乘法。教師如能這樣的講解，學生對有理數的各種運算關系就能透徹的理解，形成對數學問題的轉化意識。通過這樣的化歸，學生既對絕對值的作用、有理數的大小比較和運算有清晰的認識，而且對知識的發展與解決的方法也有一定的認識。

模型化思想

由于任何客觀對象都有其空間形式和數量關系，因而從理論上說以空間形式與數量關系為研究對象的數學可以應用于客觀世界的一切領域，即可謂宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎、日用之繁，無處不用數學。應用數學解決問題，首先要提出問題，用明確的語言加以表述，然后建立數學模型，進行數學推導和論證，對數學結果進行檢驗和評價，進而指導實踐，解決實際應用問題，為學生今后的學習實踐奠定基礎。

所以說，深入挖掘教材中的數學思想，用數學思想指導課堂教學，學生將學得更活，對知識的結構關系、問題的本質特征就有清晰的認識，化學會為會學，提高數學研究和解決問題的能力。

（作者單位：山東省濰坊科技學院）