特殊數量折扣價格獎勵計劃的最優訂貨策略

[摘 要] 對特殊數量折扣價格獎勵計劃采購數量的求解，一般是以平均價格通過反復試算法進行。本文以此為基礎，根據經濟訂貨批量模型的求解方法，通過函數分析，確定了最優采購數量的計算模型，并通過實例，驗證了這種方法的正確性。

[關鍵詞] 特殊數量折扣價格獎勵計劃 反復試算法 最優訂貨策略

經濟訂貨批量模型（Economic Order Quantity Model，EOQ）是庫存管理模型中的基本模型，在企業采購和庫存數量決策中經常應用。該方法主要是通過平衡采購進貨成本和保管倉儲成本，確定一個最佳的訂貨數量來實現最低總庫存成本。

隨著采購數量、訂貨時間、到貨間隔時間等的不同，經濟訂貨批量模型可以有不同的擴展和變化，但總的思想依然是根據物流管理中的“背反”規律，平衡倉儲成本、進貨成本，確定一個最佳的訂貨數量，在該數量點庫存總成本最低。本文就是根據這一思想，對特殊價格獎勵計劃的最優采購數量進行了進一步探討。

在采購與供應決策中，采購機構經常受到價格獎勵的鼓勵而大量采購貨物。普遍使用的價格獎勵主要有兩種：普遍價格獎勵和特殊價格獎勵。由于對應采購量的不同而在不同的采購區間享受不同的價格折扣優惠，因此，必須對其進行一定的改變，求解最優采購量。

一、普通價格獎勵的采購數量

普通數量折扣價格獎勵計劃（Inclusive Quantity Discount-Price-Incentive Plan）是指隨著購買量的增大，供應商會降低適用于所有定購產品的報價。這在消費品采購及平常的教材中很常見，即一般教材中所講的“有折扣的訂貨批量模型”。供應商為了吸引顧客一次購買更多的商品，往往規定對于購買數量達到或超過某一數量標準時給予顧客價格上的優惠，這個事先規定的數量標準稱為折扣點。在數量折扣的條件下，折扣之前的單位購買價格與折扣之后的單位購買價格不同，由于它是對于大于等于某個采購數量的所有產品適用某一折扣價格，所以認為這是一種“全量”的優惠。

具體的求解方法可見文獻。

二、特殊價格獎勵的采購數量

與普通數量折扣價格獎勵計劃相對應，特殊數量折扣價格獎勵計劃（Noninclusive Quantity Discount-Price-Incentive Plan）指所降低的報價或者優惠的價格僅僅適用于數量折扣范圍內的產品。通過文獻檢索，雖然研究不同情況下的最優訂貨策略的相關文獻較多，但是對于特殊數量折扣價格獎勵計劃這種問題的討論還沒有見到相關文獻資料。因為這種優惠僅僅是對于超過某一數量或價格的超過量而言，所以認為這是一種“增量”的優惠。

對于這種“增量”優惠采購模型，由于不同的數量所采用的價格不同，使用通常的求解經濟采購批量的方法是不可行的。

1.一個分解點問題求解的“反復試算法”

為了簡單起見，首先設該問題下只有一個折扣分界點。那么該折扣分解點將采購區間分割為兩個區間：

如果采購量位于第一個采購區間，即：采購量Q∈(0，Q1)時，則采購價格為P1；

如果采購量位于第二個采購區間，即：采購量Q∈[Q1，+∞]時，則可以根據采購價格的不同，將采購量可以分為兩部分：（1）對于采購量Q+Q1，采購價格為P1；（2）對于采購量=(Q-Q1)，采購價格為P2。則對于采購量為Q的產品而言，其平均采購價格為：

由于P1、P2和Q1是已知的常量，所以可得：當采購量大于折扣點采購數量時，平均價格是采購數量的函數，即：＝f(Q)。同時，可知：隨著Q的增加，平均采購價格是遞減的。

設全年購買量不變，為常量D。每次采購成本為K，單位貨物的年庫存成本為C。如果每次采購數量為Q，根據總成本公式可知：購入成本為×D；采購成本為；庫存成本為。那么，隨著Q的增加，購入成本遞減，采購成本遞減，而庫存成本遞增，這體現了物流成本的悖反規律。

根據物流總成本最小的原則，可以通過“反復試算法”(Trial And Errors)來找到問題的答案。對于不同的采購批量Qi，總成本為:

(2)

如果單位貨物的年庫存成本和采購價格為線性關系，設單位貨物的年庫存成本率為f，即C+P×f，則庫存成本為。那么，式（2）可以寫成：

(3)

例1是反復試算法的應用。

例1：某商品每年的預計需求量穩在2600個。采購訂單的準備成本為每訂單10元，庫存持有成本每年為20％。供應商提出兩種報價：采購量小于500個時，價格為5元/個；如果采購量大于或等于500個，則對多于500的數量價格優惠5%，求解最佳訂貨量。

解：我們可以求出對應于不同采購量的平均價格，然后求出對應的總成本。為了計算方便，從300開始試算，并以100為步長向前移動。可得如表1所示：

通過計算可知：最優采購數量為900。最小總成本為13183。

反復試算法將庫存問題變成了離散型的，這種方法雖然能基本解決問題，但這種解決方法是近似的。是不是還有更加準確的解呢？

2.一般情形

如果有n個折扣點Q1，Q2，…，Qt，…，Qn將整個采購數量分割為（n+1)個折扣區間，(p1，p2，…，pt，…，pn，pn+1)分別對應于第1個、第2個一直到第n+1個區間的折扣價格。可以用表2如下：

由于第1個折扣區間一般是沒有折扣的，采購價格等于原價格。所以，當采購數量Q位于第t個折扣區間，即：Qt-1≤Q1)時，則：

持有成本=P1×Q1+P2×(Q2-Q1)+P3×(Q3-Q2)+……+Pt-1×(Qt-1-Qt-2)+Pt×(Q-Qt-1)

=(P1-P2)×Q1+(P2-P3)×Q2+……+(Pt-1-Pt)×Qt-1+Pt×Q

因此，平均價格

(4)

由于：在給定問題中，Pi(i=1，2，…，n)，Qi(i=1，2，…，n) 均為常數，所以，設：

Nt=(P1-P2)×Q1+(P2-P3)×Q2+……+(Pt-1-Pt)×Qt-1

=(pi-Pi+1)×Qi

=常數， (5)

則：平均價格（當t=1時，N1=1）。(6)

通過推導，可得最優采購數量：

。 (7）

因為：采購總成本=持有成本+采購成本+庫存成本，所以，如果采購數量Q位于第t個采購區間，則采購總成本TCt為：

(8)

對應于該區間最優采購數量Q*t，則用Q*t代替上式中的Q，即可計算出年最小總成本，即：

(9)

例2：現求解例1的精確解。

已知：D=2600，Q1=500，K=10，f=20%，P2=5×(1-5%)=4.75。

則可得：N=(P1-P2)×Q1=125。

所以：(個)。

計算當Q=860時，平均價格為。

所對應的總成本為：

這樣，我們可以求出更加精確的值，使得總成本達到最小化。

例3:設年采購總額D=20000，每次采購成本K=200，單位貨物年存儲費率f=0.2，在特殊數量折扣價格獎勵計劃下進行采購，對應于不同的采購數量享受的價格優惠如表3所示。求最優的采購策略。

解:(1)計算第1區間的最優采購數量:;計算第2區間的最優采購數量：

因為N2=(P1-P2)×Qt=4000，

所以

(同理可求:N3=10000，N4=18000，N5=38000;Q*3=11292，Q*4=16125)

因此直接求解第5區間的最優采購數量。

(2)最后區間（即第5區間）的最優采購數量；

由于27641>5000，且27641>D=20000，所以，求解對應于不同采購數量的采購總成本。

(3)求解總成本

因為N3=10000，N4=18000，N5=38000;

所以，同理可得：

TC*3=357133，TC*4=326949。

TC*5(Q*5=27641)

＝259081；

∵TC*(D=20000)=262000最小，

∴最優采購策略為一次性采購20000單位產品。

三、結論

由于條件的變化，特殊數量折扣價格獎勵計劃的最優采購數量的確定，不能直接套用基本經濟訂貨批量模型。本文根據經濟訂貨批量模型的求解方法，通過函數分析，確定了該種情況下最優采購數量的計算模型，并通過實例，比較了該模型和反復試算法的不同。該方法可以使得最優數量的確定更加精確，并為實際問題的求解提供了一種思路和方法。

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