“數值分析”中的三次樣條插值實踐教學探討

摘 要：文章闡述了“數值分析”中的三次樣條插值教學中加入實踐教學環節的必要性，并通過具體實例介紹了作者在三次樣條插值教學中進行了實踐教學的嘗試和探討，旨在對今后的三次樣條插值的教學起到一定的促進作用。

關鍵詞：數值分析課程 三次樣條 樣條插值 實踐教學 創新能力

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A

高次多項式插值過程具有“龍格”現象和數值不穩定的缺點，而利用分段低次多項式，在分段處具有一定光滑性的樣條插值過程有較好的穩定性和收斂性。20世紀60年代中期，樣條與計算機輔助幾何設計相結合，在外形設計(汽車、飛機、船等)方面得到了成功的應用。同時，樣條理論研究亦逐步深入，后被作為函數逼近的有力工具。針對有關文章中指出的數值分析教學中存在的問題，…筆者在廣東工業大學應用數學學院的信息與計算科學(信息計算)專業班上嘗試了“數值分析”課程中三次樣條插值的實踐教學探討，在教學探索過程中有收獲，有心得，也有困難和困惑，現給予闡述。愿與同行交流，共同建立一個數值分析實踐教學平臺。

一、三次樣條插值教學中存在的問題

一是教材的三次樣條理論性過強，教學與實際結合較少。在傳統的三次樣條教學中，大多數教師只重視課堂教學，僅僅注重對三次樣條理論知識的講解，而很少開設或不開設上機實驗，忽略了三次基本理論的應用和實踐教學，結果導致三次樣條學起來抽象難懂，從而抑制了學生的學習積極性，難于激發學生積極思考，影響了學生創新意識和創新能力的培養。因此，在三次樣條的教學中適當引入實踐環節已成為當務之急。

二是上機實驗過程單一。由于三次樣條涉及算法分析、程序設計及計算框圖等，實驗過程基本上都由教師安排和指定，學生對實驗數據和實驗結果往往只知其然、不知其所以然。學生的積極性、創造性、主動性、靈活性得不到充分發揮，難以提高探索和獲取樣條知識的能力。

三是對案例教學中的數據缺乏背景了解。雖然在個別教材中，添加了三次樣條實際應用案例，但僅靠課堂講授和上機實驗是無法讓學生對案例中的實驗數據有一個很好的數據理解，最終也使案例教學演變成解三次樣條習題。

這些現狀造成了學生對三次樣條學習興趣不高，不重視三次樣條上機實驗、不注重其算法的編程實現的局面，最終的教學效果可想而知。為了改變上述狀況，我們嘗試了三次樣條插值實踐教學。

二、實踐教學

針對上述問題，為了培養學生自主分析問題、解決問題的能力，激發學生學習三次樣條插值的興趣，加深他們對三次樣條知識的理解和認識，本文提出了在三次樣條教學中加入實踐教學環節的想法。

實踐教學的含義包括實驗、實習、社會實踐、課程設計、學年論文、畢業論文(設計)等，不同類型的實踐教學環節在教學計劃中的地位、順序、時間分配等方面要符合培養目標的要求，要和相關課程相匹配。實踐教學是專業教學的重要組成部分，是培養學生自學、獨立分析問題和解決問題能力的主要手段，是實踐性較強課程的一種重要教學手段。

我們這里所說的實踐教學，是指將某一門或幾門課程所要學習的新知識或綜合知識(結合其它方面的知識)隱含在一個或幾個社會實踐教學過程之中。學生通過對在社會實踐過程中所遇到的問題進行分析、討論，明確其大體涉及哪些知識，并找出哪些是舊知識，哪些是新知識，在老師的指導、幫助下找出解決問題的方法。從而將枯燥的學知識過程轉變為主動吸收知識的實踐過程，有利于學生理解和掌握所學知識，培養學生解決問題的能力和創新能力。

三、三次樣條插值教學實施方案

結合有關文章中的數值分析實驗課任務驅動教學理論，設計了一個三次樣條插值實踐教學方案，其流程如圖1所示：

一是課堂講授。主要講授樣條的由來和應用背景，簡單提及三次樣條基本計算過程和收斂性問題。結合一個具體實際問題，通過提問的方式啟發學生課外查閱樣條資料和實際問題的解決過程。課堂講授這是學生對實際問題和三次樣條知識進行初步認識和了解的過程的環節。

二是查閱資料。根據三次樣條知識，設計一個切實可行的三次樣條社會實踐任務方案，讓學生課外廣泛地收集和查閱相關資料，了解應用背景。課外廣泛收集和查閱相關資料，了解應用背景，這是學生出色完成社會實踐任務重要保證。查閱資料這是引導學生學習三次樣條的實踐環節之一。

三是數據收集和測量。教師根據實踐任務方案，設計一個數據收集或測量方案，以提供三次樣條模型所須計算數據。收集或測量數據是三次樣條教學的關鍵實踐環節。在這個實踐環節中，最重要的任務是要讓學生有目的、積極地去收集和測量數據。在這個實踐過程中，可以給學生串插講述誤差和三次樣條方面的知識，以加強學生對數據的理解。數據收集和測量這是激發學生學習三次樣條知識興趣的實踐環節。

四是上機實驗。根據收集或測量數據，上機編程建立三次樣條數據模型，要求畫出所得三次樣條曲線圖，根據曲線圖指出設計出的三次樣條曲線的各種重要特征。在上機調試中可以啟發學生注意求解過程中的計算誤差，串插講述三次樣條曲線的應用，引導學生思考設計出的三次樣條曲線是否符合實際要求。上機實驗這是學生消化和吸收三次樣條知識的實踐環節。

五是總結報告。學生根據所完成的實踐任務寫一份總結報告。評閱總結報告是教師了解三次樣條實踐教學效果的重要過程。教師通過總結報告不但了解了自己的三次樣條實踐教學完成的情況，而且可以不斷改進和完善三次樣條實踐教學。總結報告這是教師了解三次樣條教學效果的實踐環節。

六是反饋。教師對學生的總結報告進行評判并反饋給學生，使學生在總結和修改中得到提高，也使三次樣條的實踐教學達到最佳效果。教師評判反饋是學生不斷完善和提高的教學環節。

四、三次樣條插值實踐教學實例

根據相關文章中給出一個具體三次樣條實踐教學實例——用三次樣條插值設計山地公路曲線。

第一是課堂簡要講授三次樣條和公路曲線設計背景，教學只起點撥作用，主要由學生課外查閱資料完成對三次樣條和公路曲線設計知識的學習。

第二是在大夫山森林公園實地選擇一山地坡面進行實地測量實地測量n+1個點的坐標(如圖2)，并實地講解怎樣建立三次樣條數學模型，以及公路曲線設計方面的基本知識啟發學生思考公路曲線設計要考慮的因素和所需測量數據并設計出一套方案，其主要目的是讓學生在輕松的環境中對三次樣條建模數據有一個很好的感性認識和理解。

第三是在大夫山森林公園游玩過程中，選擇一約束較大的地形，考察其曲率半徑，作為三次樣條函數曲率最小設計要求。這一環節的主要目的是讓學生思考三次樣條計算結果的是否符合公路設計要求。

第四是上機計算，并寫出實踐報告。這是了解實踐教學效果環節、也是學生理解三次樣條知識及其應用的關鍵環節。 第五是批改報告并與個別學生進行交流。這是提升學生對三次樣條知識理解能力的重要環節。

五、幾點認識與思考

1 幾點認識

一是充分相信學生的能力，以社會實踐問題為載體，可以充分挖掘學生的潛能。在三次樣條插值實踐教學過程中，筆者發現很多復雜的問題，學生都能解決，深深體會到學生不是缺少智慧，而是教師缺少發現。因此教師應為學生創造時機，讓學生充分發揮想像力，積極地進行各種探索研究。

二是充分信任學生，以實踐為驅動激發他們的學習興趣。學生在三次樣條插值實踐教學過程中，測量工作非常認真，對數據要求非常嚴格，這與平時做練習態度判若兩人。學生在實踐過程中有很多問題且很愛提問，這與課堂死氣沉沉的氣氛形成鮮明的對比。這些現象都是因為學生對社會實踐問題感興趣。

三是三次樣條插值實踐教學方案要堅持四個方面。三次樣條插值實踐教學方案設計要堅持四個方面：可行性、開放性、應用性、綜合性?？尚行跃褪且紤]到學生的知識水平，事先要簡化數學模型，課外知識要盡量涉及不多，以防影響學生的積極性；開放性是指三次樣條插值實踐方案不要太詳細，要預留一部分問題引導學生思考，增強學習的自覺性和主動性；應用性是指三次樣條插值問題來源于實際和生活，可激發學生的學習興趣；綜合性是指數學知識盡量涉及比較多，以便讓學生感到數學知識用途廣泛，生活中的數學無處不在。

2 幾點思考

一是實踐環節的設計給教師提出了新的挑戰。三次樣條插值涉及到的領域很廣，其實踐教學受到很大的約束，怎樣利用有限的教學條件，設計出可行、綜合性的三次樣條實踐教學方案，對教師確實是一個挑戰。另外實踐教學不可預見性的特點，對教師的應變能力提出了很大挑戰，對教師的素質提出了更高的要求。

二是三次樣條插值實踐教學有它的局限性，需要不斷投入和創造條件。由于三次樣條涉及的領域很廣，故實踐教學條件一般很難滿足，需要學校不斷投入和創造條件(例如創造不同學院實驗條件共亨的條件)。

參考文獻

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(文字編輯、責任校對：王麗華)