淺談在“離散數學”教學中培養學生的數學思維與應用能力

摘 要：“離散數學”是計算機科學與技術以及相關專業的重要課程。文章從教學內容、教學方法和手段等方面入手，探討了如何在“離散數學”的教學中提高學生數學思維與應用數學的能力。

關鍵詞：離散數學 數學思維 應用能力

中圖分類號：641.1 文獻標識碼：A

離散數學是研究離散量的結構及其相互關系的數學學科，是現代數學的一個重要分支。同時“離散數學”也是計算機專業的許多專業課程，如程序設計語言、數據結構、操作系統、編譯技術、人工智能、數據庫、算法設計與分析、理論計算機科學基礎等必不可少的先行課程，學生通過對離散數學的學習，除了要掌握處理離散結構的描述工具和方法，為后續課程的學習創造條件，還應該在學習過程中培養數學思維，提高直覺思維、逆向思維、抽象思維和嚴格的邏輯推理能力，以及提高應用離散數學的方法解決實際問題的能力，為將來參與創新性的研究和軟件開發工作打下堅實的基礎。數學課程普遍對培養學生的邏輯推理能力有比較好的作用，而對學生的創造性數學思維的培養則相對較弱，本文主要針對在工科院校中，如何使得“離散數學”課程的教學能達到培養學生創造性數學思維和應用數學的能力的目的，從內容、方法和手段等方面進行探討。

一、教學內容應突出應用性

“離散數學”是為計算機、信息管理、電子技術等專業開設的一門基礎理論課程，在許多工科院校其授課時間為一個學期，離散數學的內容涵蓋面非常廣，包括數理邏輯、集合論、代數結構、圖論等四個主要部分，要在這么短的時間內對每部分內容都細致深入地講解是不可能的，如何選取適合工科院校學生的教學內容，是“離散數學”教學中的首要問題。中國科學院院士吳文俊在1993年的數學課程內容改革研討會上曾指出“任何數學都要講邏輯推理，但這只是問題的一個方面，更重要的是用數學去解決問題”，強調“應用”。在總課時不變的情況下，要加強應用，就必須縮短理論講解的時間，為解決這一矛盾，就要對教學內容進行篩選，不能面面俱到，要突出重點，以學生“夠用”為準則。對于概念和推理部分，要突出與計算機專業有緊密聯系的概念和方法層面上，注重基本方法的講解，淡化大量煩瑣的并且不帶有普遍意義的理論證明。比如，證明集合恒等式的定義法和公式法，就是集合證明的一般的方法，取極大路徑是證明圖中存在某個長度的圈或路徑中常用的一個輔助工具，都需要進行詳細地講解，而對于格用關系的語言定義和用代數系統的語言兩種定義的等價性過程就很煩瑣，而且不易理解則注意內容和方法的把握。

二、采用多種教學方式，培養數學思維

教學最終的目的并不僅是讓學生掌握已有的知識，更重要的是讓學生通過所學的知識進行創新，發現并解決新問題，這就要在教學過程中注重培養學生的創造性思維。為了使離散數學的教學能達到這個目標，我們就要在教學中激發學生學習上的主動性，培養與創造能力密切相關的抽象思維能力、直覺思維能力和逆向思維能力。

1 采用啟發式教學，培養學生主動思考的習慣

目前教學方法上采用的主要是以老師為主、學生為次的被動的模式。學生在思維上已經產生了等待老師布置才去思考問題的習慣。啟發式教學就是通過引導、設疑、啟迪來激發學生的學習興趣和求知欲。教師應該引導學生擺脫這種依賴慣性，引導學生參與討論提問并提出有實際意義的問題，調動其思考和探索的熱情。教師可以在學習新的內容之前或結束之后給學生提出若干問題，讓學生思考，引導學生探究所要研究和解決的問題是什么。例如，“圖論主要是研究什么?請大家回去找幾個圖論在實際應用中的應用實例，看看自己是否了解圖論所研究的內容，以及對圖論的研究有什么疑問，這些疑問自己能不能找到答案，”由此引發學生的學習興趣。在講圖論的內容時，先要和學生講清楚圖論到底是解決什么問題，即將實際問題抽象為圖這種數學模型，再在圖上解決實際問題。

組織學生對主要定理和問題進行討論，讓學生自己發現問題、分析問題和解決問題。例如一些教材只給出了歐拉圖的判定定理，而沒有給出如何尋找歐拉回路的具體的方法，這時可以讓同學們就如何找歐拉回路進行分組討論，每組都給出他們找到的方法。

2 從特殊到一般，培養抽象思維能力

人的認識規律是從感性到理性，從理性到實踐，從生動的直觀到抽象的思維，再從抽象的思維到實踐，“離散數學”的課堂講授應符合這一認識規律。對“離散數學”中的抽象的概念、結論和證明，教師在教學過程中應盡可能地將其形象化，多畫圖表、多舉例或進行類比。比如在介紹代數系統同構的概念時，如果僅從定義出發：沒V1=(A，°)和V2=(B，*)是同類型的代數系統，f：A→B，且Vx，v∈A有，f(x°y)：f(x)*f(y)，且f是雙射函數，則稱V1同構于V2，學生仍然無法很清晰地了解兩個代數系統同構的內涵，如果給出兩個同構代數系統包含的運算的運算表，然后從運算表的角度解釋：兩個代數系統(A，°)與(B，*)同構實際上是°和*運算的運算表結構一致，即將°運算的運算表作行列變換，必然能使得變換后°的運算表結構和*的完全相同。這樣學生就對原本描述得非常抽象的同構定義有了一個直觀的理解。

3 構建知識塊，強調數形結合，鼓勵大膽猜想，培養直覺思維能力

數學教學中一般比較重視學生邏輯思維能力的培養而忽視對學生數學直覺思維能力的培養。直覺思維是創造性思維的一種重要形式，它常常表現為提出怪問題、大膽的猜想、設想出多種新奇的方法等等，直覺地獲得雖然是有偶然性，但決不是無緣無故的憑空臆想，或靠“機遇”獲得，而是以扎實的知識為基礎，如果沒有深厚的功底，就不會進發出思維的火花，所以對基本問題和基本方法的牢固掌握和應用是很重要的。因此可以通過構建知識塊來讓學生掌握扎實的基礎知識。離散數學的知識由定義、定理、公式、法則等組成，并集中地反映在一些基本問題，典型題型或方法模式。許多其他問題的解決往往可以歸結成一個或幾個基本問題，化為某類典型題型，或者運用某種方式模式，需要教師在對教學內容的深入把握基礎上將它們篩選出來并加以精練。比如說對某給定圖要證明其存在某長度的路徑或圈，常常需要用到極大路徑或最大路徑，并討論該路徑上兩個端點的鄰集之間的關系的方法。

強調數形結合，可以發展幾何思維與類幾何思維。數學形象直感是數學直覺思維的源泉之一，而數學形象直感是一種幾何直覺或空間觀念的表現。對于非幾何問題則要用幾何眼光去審視分析，這樣就能逐步過渡到類幾何思維。比如，給出一個偏序集，要判斷該偏序集是否構成格，在判斷時可以在思維中勾勒出該偏序關系的哈斯圖，從而轉化為判斷哈斯圖中任意兩格頂點是否存在最大下界和最小上界。

鼓勵大膽猜測，養成善于猜想的數學思維習慣。猜想是一種合情推理，培養敢于猜想、善于探索的思維習慣是形成直覺思維的基本素質。教師應該在教學中鼓勵并創造機會讓學生能大膽地提出各種想法。例如教師可以在講解完例題之后或在作業中讓學生尋找新的解法，在討論中鼓勵學生提出各種與課程內容相關的問題。

4 換角度思考，培養逆向思維能力

正向思維是指沿著人們的習慣性思考路線去思考，而逆向思維則是指與人們的習慣路線向相反方向去思維。例如“司馬光砸缸”，有人落水，常規的思維模式是“救人離水”，而司馬光運用了逆向思維，果斷地用石頭把缸砸破，“讓水離人”，救了小伙伴性命。運用逆向思維去思考和處理問題，常常可以達到“出奇制勝”的效果，結果往往令人滿意。在離散數學教學中有意識地進行逆向思維訓練，可提高學生靈活運用知識的能力，有利于培養學生的創新能力。在離散數學教學中對概念和定理，可以采用正向思維的方式進行講解，而對于定理的應用，可

27以啟發學生多應用逆向思維解決。比如一階邏輯的推理部分，對于前提引入規則、結論引入規則、置換規則和量詞的引入和消去規則，可以采用正向思維進行講解；對于給定前提和結論，要求構造推理的證明的題目，則可以采用逆向思維進行講解。比如：給出的前提是：ExF(x)，Vx(F(x)→G(a)∧R(x))，結論是：Ex(F(x)∧Pt(x))。要證明結論Ex(F(x)VR(x))，也就是要證明存在某個體c，使得F(c)AR(c)成立，而有前提3xF(x)，因此可以選擇c，為使得F(c)為真的個體，而由前提Ex(F(x)vG(a)∧R(x))可知：F(c)→G(a)A∧R(c)，因此，原來的謂詞邏輯的推理問題就可以轉換為前提為：F(c)和F(c)→C(a)AR(c)，結論為F(c)(R(c)的命題邏輯的推理問題。

三、理論聯系實際，加強建模訓練，提高應用能力

學習離散數學的理論、方法，不僅是為了鍛煉思維能力，更重要的是應用這個數學工具輔助我們解決實際問題。要達到這個目的，首先要令學生具有運用數學的意識。

數學概念和數學規律大多是由實際問題抽象出來的，在離散數學的教學中應當從實際事例或學生已有知識出發，逐步引導學生對原型加以抽象、概括，弄清知識的抽象過程。此外，還要了解所學離散數學知識與相關學科之間的聯系，有意識地引導學生運用所學理論去聯系實際問題，從而培養學生應用數學的意識。例如在介紹圖論的時候，可以從圖論的起源“哥尼斯堡七橋”問題引入，分析歐拉是如何從實際問題抽象出圖，再利用抽象出的圖解決實際問題。而且在每章開始之前，都可以對這章內容的起源和應用背景進行介紹，這樣可以加強學生應用數學的意識。

具有應用數學的意識，還要有應用數學的能力。離散數學是個建立離散數學模型的數學工具，要提高應用離散數學的能力，就要對學生加強數學建模訓練。在教學中，教師可根據教學內容選編一些綜合性較強的應用實例對學生進行建模訓練，引導學生觀察、分析、抽象、概括為數學模型，培養學生的建立離散數學模型的能力，從而提高學生應用數學的能力。離散數學是應用數學的一個分支，具有廣泛的應用背景，與許多實際問題密切相關。例如：給定若干前提的推理問題，可以用離散數學中的數理邏輯進行建模，從而由計算機進行推理；為要傳輸的數據尋找最優的傳輸碼可以用二叉數進行建模，等等。

參考文獻

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(文字編輯、責任校對：鄒 紅)