美國“基于認知發展的數學教育”項目簡介及其啟示

[摘要]美國“基于認知發展的數學教育”是當前國際數學教育領域頗具影響力的著名促進項目。該項目以幫助教師建構有關兒童數學認知發展的概念體系為切入點，通過教育實踐與合作研究并重的方式促進教師專業發展。這對我們改革現行的教師專業發展模式有不少有益啟示，如以關于兒童認知發展的知識為基礎建構教師專業發展的知識體系，組建合作探究式的學習共同體，采取多種途徑促使教師的實踐知識與經驗向教育能力轉化等。

[關鍵詞]數學教育項目；數學認知；數學思維；教師專業發展

“基于認知發展的數學教育”(CognitivelvGuided Instruction，簡稱CGI)是美國威斯康星大學“促進學生數學與科學學習和成就國家研究中心”①研發的早期數學教育項目，主要針對從幼兒園到小學三年級的兒童與教師，旨在通過幫助教師掌握兒童在特定認知領域(如數、計算等)數學思維發展的知識，增進教師關于兒童數學認知發展的特點及規律的認識，促使其不斷改進自身教育實踐，從而最終促進兒童數學認知能力的發展。CGI既是兒童數學認知發展的促進項目，也是以兒童數學認知發展知識為基礎的教師專業發展項目，它被美國教育部評價為“核心且有無限潛力的兒童數學教育項目”。

一、CGI項目的研究基礎

CGI項目的研究長達15年，其研究者卡彭特、費勒瑪和弗蘭克(Carpenter，Fennema，Loef-Franke)等長期從事兒童數學認知與思維發展的研究，并且深入研究了教師關于兒童數學認知發展的知識與其教育實踐的關系，取得了大量令人信服的研究成果。

(一)關于兒童數學認知發展的研究

卡彭特和費勒瑪等人經過大量研究發現，兒童在入學前已擁有很多“非正式的”或“直覺的”數學知識，他們稱之為“前數學知識”或“前數學概念”，主要來源于兒童的日常生活和非正式數學學習經驗，主要表現為兒童非正式的數學問題解決策略。這些前數學知識或概念是兒童進行正式數學學習的基礎。在兒童數學思維方面，研究者們著重關注了兒童解決不同類型問題所使用的策略及其發展，研究內容既包括基本數學概念，如數概念、整數運算(含一位數與多位數)等，也涉及部分難度較大的數學概念及知識，如分數知識、幾何與測量知識等，其中兒童解決加、減、乘、除等整數運算問題所使用的策略是研究的焦點。研究者發現兒童主要通過實物操作或動作來模擬、重現文字題中所描繪的行為與關系，從而直覺地解決問題。通過考察兒童的問題解決，研究者了解了兒童加、減等基本數概念發展的具體特點、水平與規律，以及兒童如何基于其前數學知識進行整數計算的。

(二)教師關于兒童數學認知發展知識的研究

CGI項目除了關注兒童的數學認知發展外，還對教師關于兒童數學認知發展的知識進行了大量研究，發現教師對兒童的數學思維發展具有大量直覺的、非正式的知識，如教師能夠明確認識到兒童可自發地使用具體材料解決數學問題，且這種問題解決與正式的、抽象的運算活動具有緊密聯系；教師還能粗略地意識到僅對材料進行操作，對兒童來講并不能必然構成有意義的數學學習，兒童還需要教師科學、適宜的指導；教師能夠初步分辨各種類型的數學問題，并了解其差異，同時他們也擁有許多有關兒童所使用的問題解決策略的知識，如點數、分解、提取等。

不過，教師關于兒童數學認知發展的直覺知識大多是零碎的、片斷的，未被很好地組織起來，也未能很好地概括化、系統化。多數教師不能夠很好地把問題特征與兒童策略有效地聯系起來，不能正確評價模仿和點數等策略在兒童思維發展過程中的作用，對很多兒童能夠使用更為成熟和水平更高的策略也缺乏理解與認識。

(三)教師的兒童數學認知發展知識與其教育實踐之間關系的研究

CGI項目的研究者發現，教師的兒童數學認知發展知識對其教育實踐能力有著關鍵性影響，通過促進教師對兒童數學認知發展知識的理解與掌握，能夠顯著提高其教育實踐能力。在CGI項目的研究者看來，數學教育由豐富而復雜的問題解決活動組成，教師的行為在很大程度上受到他們帶進活動情境中的知識的控制與支配。對教師專業知識的分析已經成為理解數學教育過程、評價教師數學教育能力以及促進數學教育改革的中心問題。

卡彭特、費勒瑪和弗蘭克等認為教師所擁有的兒童認知發展知識可以幫助教師將學科知識、課程知識與教育學知識有機地統一起來。教師對于兒童數學思維發展的理解能夠引導教師觀念與實踐的根本性轉變，這些轉變又將最終反映在兒童的數學學習中，促進兒童數學思維發展與成績提高。可見，要提高教師數學教育能力就必須豐富并發展教師關于兒童數學思維發展的知識，讓教師對兒童思維發展的研究成為支持其專業發展的一種生成性與不斷發展的活動。教師在全面掌握兒童數學思維發展知識的同時，還需深刻理解數學中的關鍵概念，才能取得良好的教育成效。教師是這些關鍵知識建構的主體，研究者應為教師提供有關兒童數學思維發展的概念框架，幫助其反思自己關于兒童思維發展的非正式知識，并在實踐中對這些非正式知識進行解釋、轉換與重構，從而最終建構起關于兒童數學思維發展的科學知識體系。

二、CGI項目特點分析

(一)幫助教師建構兒童在特定數學領域中認知發展的概念地圖

CGI項目的研究者認為，教師對于兒童在具體數學領域的思維發展水平及其表現的理解是其關于兒童數學認知發展知識的重要內容，同時也是教師提高對數學教育內容理解的必要條件。因此，研究者試圖幫助教師在內容和結構良好的數學領域(以整數的加、減、乘、除運算為主)建構有關兒童數學思維發展的概念地圖，以促使教師提高其數學教育能力。

與其他早期數學教育項目不同的是，CGI項目并不預先為教師規定數學教育的范圍、內容及程序，也不向兒童提供具體的教學材料及活動。相反，教師在項目中分享的是對“數學問題的基本類型與區別”“兒童如何理解并解決這個數學問題”及“教師應該為兒童的問題解決提供哪些幫助”等方面的理解與經驗。以加減問題為例，教師可以通過項目提供的書籍了解到：加減法具有四種基本類型，如組合、分解、部分整體、比較等，每類加減法問題又可以分為不同的子類型，如結果未知、變化未知、起始未知，且每種類型的問題都有具體實例加以說明；兒童解決加減問題的策略會大致經歷“實物模擬－心算－直接提取”三個發展階段，并主要通過點數、大數、湊整等策略解決具體的加減問題；教師在實際教學過程中應鼓勵兒童通過模擬、動作等方式表現問題中的關系，并發現多樣化的解決策略。此外，教師還能通過光盤資源了解典型的CGI課堂組織情況、教師教育策略及不同兒童在解決數學問題時的策略表現等。

在CGI項目的幫助與支持下，教師能夠形成清晰的數學概念體系，了解數學問題的不同類型和子類型的特點與異同、具體的問題形式及所體現的數學關系等；教師還能夠建構兒童數學思維發展的模型，即了解兒童在解決某類數學問題時通常會使用的策略，模擬兒童利用這些策略解決問題的過程，對兒童的策略進行解釋并評價其在兒童數學思維發展中的作用，及時敏感地判斷兒童在問題解決過程中出現的疑難或錯誤并提供必要的幫助。

CGI項目通過幫助教師建構兒童在特定數學領域中思維發展的知識框架，使其能夠發展起自身運用已有知識做出適宜、有效的教學決策的能力，從而使每位教師能夠根據自己的教學風格、知識、教育觀念以及本班兒童的特點，建構適宜的數學教育環境，選擇適宜的數學教育方法，以更好地支持和促進兒童的學習與發展。

(二)以數學問題解決作為促進兒童數學學習的主要方式

CGI項目將數學問題解決作為促進兒童數學學習、提高其數學認知能力的主要方式。從幼兒園開始，教師會讓兒童解決大量涉及到加、減運算的數學問題。同時，教師會根據自己對于數學問題及兒童數學認知發展水平的了解，精心選擇呈現給兒童的數學問題，保證其能夠基于自身的發展水平形成適宜的問題解決策略。

CGI課堂中每天專門的數學活動時間約為一個小時，與此同時，數學問題也自然地大量融入兒童其他學習活動中。在CGI課堂中，兒童所涉及的問題多源于兒童的日常生活及游戲。通常，教師提出每次課堂中需要解決的問題，如“湯姆有8輛玩具小汽車，瑪麗又給了他4輛，請問湯姆現在一共有多少輛小汽車?”隨后，教師會通過提問的方式幫助兒童關注問題的重要細節，如起始條件(8輛小汽車)、變化過程(增加4輛小汽車)及未知條件(小汽車總量)等，并為兒童準備豐富的物質材料(如積木、籌碼、計數棒、數字卡片等)來幫助兒童進行問題解決，每位兒童可以自行決定如何以及何時使用這些材料或者不借助任何材料解決問題。在兒童進行問題解決的過程中，教師可與兒童個別對話，幫助兒童明確問題條件或解決策略，鼓勵兒童嘗試使用多種策略，進而深入分析兒童的思維過程。最后，兒童需要向教師及其他兒童報告并展示自己問題解決的過程及具體策略。通過兒童的報告與展示，教師能夠了解該兒童的數學思維發展水平，并決定采用何種教育引導策略。同時，教師將進一步引導全班兒童對該兒童所采用的方法與策略進行討論，如果出現疑問或分歧，則大家一起對該方法進行檢驗。在此過程中，教師不斷根據自己掌握的有關兒童數學思維發展的知識對兒童的討論結果進行引導、概括、總結與提升，并為其進一步討論提供支持。

(三)教師重點關注兒童數學思維發展的特點及其表現

在CGI的課堂中，兒童主要通過問題解決進行數學學習，但教師關注的并非是兒童的運算能力，而是著眼于兒童的問題解決策略及其所體現的思維發展水平與特點。CGI項目認為兒童在沒有成人提供明確策略支持的情況下也能夠自己發現或發明一些策略解決問題，而且每位兒童的每種問題解決方法都非常重要，因為它們既是兒童現有數學思維發展階段及水平的反映，又是兒童數學思維進一步發展的起點，為教師做出正確、適宜的教育決策提供了基礎與依據。因此，CGI項目要求教師不要直接向兒童呈現可模仿的問題解決程序或方法，而是在討論的過程中，鼓勵兒童學習或采用多種方法解決問題。這促使參加CGI項目的教師對兒童數學思維發展的認識必須相當清晰，而且他們要能運用這些知識去評價兒童，并借此擴展對兒童一般思維發展的認識。研究者比較了20位CGI教師與20位非CGI教師后，發現CGI教師不僅更重視兒童的問題解決，更期望兒童表現出多樣的問題解決策略，而且更多地觀察與傾聽兒童，對兒童數學思維的了解也比一般教師豐富。

在關注兒童數學思維本身的特征與水平的同時，CGI教師非常重視讓兒童通過一定的數學語言表達和交流自己的問題解決策略與過程。在CGI課堂中，展示與交流是一個極其重要的環節。每名兒童都有機會通過各種方式向教師和其他兒童呈現自己的解決策略，這一方面可以幫助兒童進一步梳理自己的問題解決過程與步驟，使策略更加明確、清楚，并逐漸學會使用一定的數學語言，另一方面可以幫助教師更深入地理解兒童的思維發展特點與水平，對其作出適宜的評價，并給予相應的支持。

(四)在教育實踐與合作研究中促進教師專業發展

CGI項目研究者認為，教師也和兒童一樣，需要進行知識的建構而非被動吸收。傳統的教師培訓活動違背了人類認知學習的規律，不能真正地支持教師的專業發展。只有通過實踐與合作研究相結合的途徑，才能有效促使教師實現已有知識的轉換、重構與優化，并最終應用于教育實踐，提升教育能力。

CGI項目除了集中的工作坊培訓，以幫助教師了解項目的理念、原則與主要方法外，還非常重視教師的教育實踐。項目為教師提供了為期一年的實習。在此期間，教師深入CGI班級進行實地觀摩，全面了解課堂及組織，并加強對于數學教育中關鍵概念的理解；教師還廣泛參與兒童活動，觀察兒童并與其對話，了解兒童的前數學知識、問題解決策略及數學學習過程。通過一年的實習，教師逐步建立起關于兒童數學思維發展的知識體系，并在以后的教育實踐中不斷擴展、完善該體系，使其能在自身專業發展中發揮最大的作用。

同時，CGI項目的研究者充分認識到合作研究在教師專業發展中的重要作用。他們認為如果教師對于兒童思維的探索和研究是孤立的、缺乏交流的，那么這些探索和研究將難以有效進行。因此，CGI項目以一個學校或者學區為單位，成立了“CGI教師組織”，定期或者不定期召開會議。借助這一組織，教師們可以共同分析典型的兒童數學學習案例，探討兒童的數學問題及其解決過程，以便更好地理解其思維過程并做出相應的指導；教師們還可以在一起共同制定教學計劃，討論課堂組織及其所面臨的問題，并自由提出自己在數學教學中遇到的多種疑難與困惑，通過教師小組合作交流、討論，共同尋求問題的解決。

三、來自CGI項目的啟示

CGI項目在全美具有廣泛而深刻的影響，雖然項目本身還存在著一些有待進一步完善的方面，如有待進一步加強對于運算之外的兒童數學認知其他重要方面(如模式、測量等)發展與教育的研究，然而該項目所包含的有關兒童數學教育與教師專業發展的核心思想，對于促進我國兒童數學教育研究與改革、提高我國教師數學教育能力都有十分重要的借鑒意義。

(一)以關于兒童認知發展的知識為基礎建構教師專業發展的知識體系

隨著教育改革的推進，人們越來越認識到教師專業發展的核心作用。有研究者就指出“如果要為學生在日益復雜的世界中做好生活上的準備，學校成員的專業發展以及組織的重要變革都是必要的。教師專業發展在所有教育改革中居于中心地位——沒有它，改革就僅僅只是理想而不能變為現實。”CGI項目不僅是一個數學教育項目，而且是一個促進教師專業發展的項目，它十分重視提高教師的專業能力，并通過幫助教師掌握兒童數學認知發展規律方面的知識，從根本上促進其教育觀念的轉變與教育能力的提高。

在我國傳統的師范教育或教師專業發展模式中，人們較多關注的是為教師提供具體的教育方法，向教師傳授具體的教學技能技巧，而缺少對于教育對象，特別是兒童的關注與理解。由于缺少與兒童發展相關的知識，尤其是兒童認知及思維發展方面的知識，教師對于教育方法與技能的掌握只能處于一種“知其然而不知其所以然”的狀態，不能了解其背后蘊含的原則和道理，因此常常導致教師在將這些方法與技能轉化為自身教育行為時出現一系列問題，如不能結合本班兒童發展的具體情況而只會生搬硬套等。這不但不利于教師教育能力的提高，還將嚴重阻礙兒童的發展。

借鑒CGI項目，我們應該以兒童認知發展方面的知識為基礎建構我國教師專業發展的知識結構與體系，同時必須認識到教師也是主動的學習者，必然也能遵循學習規律，對有關兒童認知發展方面的知識進行積極、自主的建構。這種建構應以教師自身具有的很多有關兒童認知發展的經驗性與非正式的知識為起點和基礎。相關研究者應能為教師專業發展搭建有關兒童認知發展的知識框架，并以一種教師易于理解的方式呈現，促使教師調動已有的知識經驗，建構自己關于兒童認知發展的“地圖”，并在實際教育活動中靈活運用，能夠做出正確而適宜的教育決策，從而最終促進兒童的發展，實現教師專業發展的根本目的。

(二)改革現有教師專業發展模式，變“指導訓練型”為“合作探究型”

在我國，傳統的教師專業發展模式多采用一種“指導訓練”的形式，即由專家、學者或有經驗的教師同事設計專業發展方案，向教師傳遞各種教育理念與方法，此時教學被視作純技術的工作，教師只是專業發展方案的消費者，處于被動學習的地位。在這一模式下，教師不能很好地實現知識技能向教育實踐的轉化，其能動性、創造性得不到發揮，自我效能感必然會不斷降低。為改變這一現狀，我們可以向CGI項目學習。因為在CGI項目中，教師多采用一種合作的方式，共同研究兒童數學認知與數學思維的發展規律，并在對話與交流中互為發展資源與條件，共促提高，從而真正實現了主動發展。

教師專業發展雖是一個高度個體化的學習過程，但它不是在真空中發生的，而是個體教師號情境交互作用的結果。因此，在教師的專業發展過程中，應提倡進行合作探究，即讓教師與其同伴組成的學習共同體成為其專業發展的重要支持性因素。已有研究表明，強有力的學習共同體有助于改進教學和促進教育改革。在學習共同體中，教師擁有表達與學習的機會，共同探討兒童發展、學科知識與教學，并在交流與對話中重新認識、理解和改善實踐。同時，教師學習共同體的建構也能讓教師之間萌生信任感和歸屬感，有助于建立協作的文化、共享的愿景與價值觀，從而為教師的專業發展提供重要的心理支持。

(三)采取多種途徑促使教師的實踐知識與經驗向教育能力轉化

CGI項目的研究者認識到，在專業發展過程中，教師并非“白板”一塊。也就是說，教師作為長期的實踐工作者，本身具有大量的、非正式的經驗和知識。要促使教師專業發展，并非要忽略或抹煞這些知識經驗在教育實踐中的作用，而是要促使它們轉化為教育能力，因為“理解和改進教學必須從反思自己的經驗開始，完全從別人的經驗中獲得的智慧是很貧乏的，有時甚至是虛幻的。”

在教師專業發展過程中，研究者和教師都應充分利用教師已有的、非正式的、零散的知識與經驗，對其進行相應的組織與培訓，使其能夠穩定化、系統化與專業化，并最終成為指導教師教育實踐的知識和能力。為此，應重視教育實習的作用并改善其現行模式。教育實習應該如同學習一樣，貫穿教師的整個職業生涯，而且這種實習應是探索型、研究型而非程式型、經驗型的，即教師從實習階段開始就應不斷進行探索與反思。只有這樣，教師才能將新的教育理念與思想融入實際教育活動中，并逐漸形成自己的教育風格，提高教育教學能力。同時，還應促進教師通過合作探究發展專業能力。只有通過在學習共同體中的交流與共同研究，教師才能不斷改變和完善自身已有的觀念與知識結構，調整其教育方式與行為，最終形成教育能力，促進兒童獲得發展。