幾何畫板在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用模式的探討

摘要：多項(xiàng)研究表明，幾何畫板不能在數(shù)學(xué)教學(xué)中得到有效運(yùn)用的主要原因在于數(shù)學(xué)教師對(duì)幾何畫板的應(yīng)用模式不熟悉，缺乏高層次的專業(yè)引導(dǎo)。為了解決此問(wèn)題，文中提出了三種切實(shí)可行的幾何畫板應(yīng)用模式。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；幾何畫板；應(yīng)用模式；思想方法

中圖分類號(hào)：G633文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1009-3044(2008)30-0679-03

On the Application Pattern of Geometer's Sketchpad in Mathematics Teaching of Middle School

YAO Shu-hua1，LI Xiao-cheng2

(1.Beijing No.15 Branch Middle school， Beijing 100054， China;2.Department of Mathematics， Huaibei Coal Industry Teachers’ College， Huaibei 235000， China)

Abstract: Many researches show that the causes which Geometer’s Sketchpad can’t be used effectively in mathematics teaching are unfamiliar with application pattern of Geometer's Sketchpad and insufficiency of high-level professional guidance. In order to solve the problem， there application pattern of Geometer's Sketchpad are put forward in this paper.

Key words: mathematics teaching; geometer's sketchpad; application pattern; thinking and method

1 問(wèn)題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》中強(qiáng)調(diào)[1]：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提倡實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與課程內(nèi)容的有機(jī)整合（如把算法融入到數(shù)學(xué)課程的各個(gè)相關(guān)部分），整合的基本原則是有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)”。信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的整合已經(jīng)走入了數(shù)學(xué)教材和數(shù)學(xué)課堂，并取得了一定的成效。經(jīng)過(guò)調(diào)查，筆者在文[2]中指出“幾何畫板的應(yīng)用與很多教育專家的期望（幾何畫板應(yīng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的主力軍）相差甚遠(yuǎn)。在數(shù)學(xué)課件中應(yīng)起到重要作用的幾何畫板和Z＋Z智能教育平臺(tái)，對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)教師而言，達(dá)到熟悉和比較熟悉的人數(shù)偏少。”。文[3]指出，多年來(lái)，部分?jǐn)?shù)學(xué)教師通過(guò)職前職后多層次多渠道的學(xué)習(xí)和進(jìn)修，基本掌握了一些常規(guī)的公共型數(shù)學(xué)課件制作工具軟件，而對(duì)專門用于數(shù)學(xué)教學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)專用軟件如幾何畫板、Z＋Z智能教育平臺(tái)等，要么用得不精深，要么根本就談不上用于教學(xué)。總地看來(lái)，主要原因是中學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)幾何畫板等數(shù)學(xué)教學(xué)軟件在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用模式不熟悉，缺少高層次的專業(yè)引領(lǐng)。為了提高中學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)幾何畫板的運(yùn)用能力，對(duì)幾何畫板在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用模式的研究就顯得尤為重要。

2 幾何畫板應(yīng)用模式的研究

幾何畫板是以數(shù)學(xué)為根本，以“動(dòng)態(tài)幾何“為特色來(lái)動(dòng)態(tài)表現(xiàn)設(shè)計(jì)者的思想，供用戶探索幾何奧秘的有力工具。幾何畫板功能強(qiáng)大，不僅具有精確的數(shù)字化描述和動(dòng)態(tài)的參數(shù)交互功能，還能夠動(dòng)態(tài)表現(xiàn)相關(guān)對(duì)象的關(guān)系，可以被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)論表明學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程并非是一個(gè)被動(dòng)接受的過(guò)程，而是以原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)的一個(gè)主動(dòng)的建構(gòu)過(guò)程[4]。相關(guān)研究表明，基于幾何畫板的多層次的數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)于實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的主動(dòng)建構(gòu)是非常有利的。基于“知識(shí)分類與目標(biāo)導(dǎo)向教學(xué)理論”的信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程整合模式認(rèn)為整合數(shù)學(xué)知識(shí)特征和信息技術(shù)優(yōu)勢(shì)的模式是有效的。在上述理論指導(dǎo)下，結(jié)合實(shí)踐運(yùn)用體驗(yàn)，依據(jù)使用主體在教學(xué)活動(dòng)中的活動(dòng)度，本文認(rèn)為幾何畫板在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用主要有：教師為主體的演示模式、師生合作的共探模式和學(xué)生為主體的探究模式。

2.1 教師為主體的演示模式

幾何畫板作為一個(gè)電子作圖工具，利用它提供的工具箱，可以快速而精確地進(jìn)行計(jì)算和圖形處理。這些精確的、動(dòng)態(tài)的表現(xiàn)，不僅可以充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)元素在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下保持的各種不變性，還可以為數(shù)學(xué)教師提供方便的動(dòng)態(tài)的演示平臺(tái)。基于此平臺(tái)，數(shù)學(xué)教師可以通過(guò)化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)、化抽象為直觀、化無(wú)限為有限等途徑，使學(xué)生對(duì)無(wú)限的、抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象理解地更深刻、記憶得更牢固。

2.1.1 化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)

數(shù)學(xué)是研究客觀世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)。由于數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)為的“過(guò)程與結(jié)果”的割裂，使得許多數(shù)學(xué)對(duì)象掩蓋了背后動(dòng)態(tài)的不變的規(guī)律和性質(zhì)，外現(xiàn)為靜態(tài)的呆板的“令人厭惡”的外表。利用幾何畫板提供的豐富的工具箱和各種功能，可以有效達(dá)到化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)，促進(jìn)學(xué)生快速地透過(guò)變化的外表理解和掌握不變的規(guī)律和性質(zhì)。比如平面幾何是一門研究平面圖形的形狀、大小和位置關(guān)系的一門學(xué)科，它的精髓是在不斷變化的圖形中，研究其中不變的規(guī)律和性質(zhì)。我們就可以利用《幾何畫板》的提供的工具箱和自動(dòng)測(cè)算、構(gòu)造等功能，可以使學(xué)生更容易的理解眾多的幾何概念、性質(zhì)和定理。

例1：“三角形中位線的性質(zhì)”的動(dòng)態(tài)演示：

1）先用《幾何畫板》任意畫一個(gè)三角形，并作出其 邊上的中位線 （圖1）；

2）依次選中點(diǎn)A、D、E，點(diǎn)選“度量—角度”，測(cè)出∠ADE的度數(shù)，用同樣的方法測(cè)出∠ABC的度數(shù)。然后再選中線段DE，點(diǎn)選“度量—長(zhǎng)度”，測(cè)出DE的長(zhǎng)度，用同樣的方法測(cè)出邊BC的長(zhǎng)度（圖2）；

3）任意拖動(dòng)三角形的頂點(diǎn)A、B、C改變?nèi)切蔚男螤睿⒏淖傿C邊的大小，讓學(xué)生注意觀察∠ADE、∠ABC的度數(shù)和DE、BC的長(zhǎng)度改變的規(guī)律，學(xué)生很容易就能發(fā)現(xiàn)∠ADE等于∠ABC且DE始終是BC邊的一半。這時(shí)候再向?qū)W生講解“三角形的中位線平行且等于底邊的一半”這一定理。

2.1.2 化抽象為直觀

高度的抽象性是數(shù)學(xué)學(xué)科的三大特點(diǎn)之一。面對(duì)高度的抽象性，雖然中學(xué)數(shù)學(xué)教材依據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)論和數(shù)學(xué)科學(xué)特點(diǎn)，做了一定的教學(xué)處理，但是給許多學(xué)生的面貌還是抽象的。利用幾何畫板提供的豐富的工具箱和各種功能，可以有效達(dá)到化抽象為直觀，促進(jìn)學(xué)生快速地通過(guò)直觀的外現(xiàn)掌握抽象的規(guī)律。比如在立體幾何中，利用《幾何畫板》的工具箱和變換、移動(dòng)等功能，可以將抽象的立體圖形轉(zhuǎn)化為比較直觀的圖形，方便學(xué)生的觀察。

例2： “三棱錐的體積等于它的底面積S與高的乘積的三分之一”的直觀演示

教材中采用的是將三棱柱切割成三個(gè)全等的三棱錐，圖形變化較大，學(xué)生不容易理解，可以使用《幾何畫板》向?qū)W生提供動(dòng)態(tài)畫面，啟發(fā)學(xué)生的聯(lián)想，培養(yǎng)和提高學(xué)生的類比能力。具體制作過(guò)程如下：

1）先用《幾何畫板》作一個(gè)三棱柱ABC-A'B'C'，連接AC'、AB'、CB'，并用“編輯—操作類按鈕—顯示/隱藏”功能設(shè)置這三條線段，將此按鈕名字更改為“連接”（圖3）；

2）用“編輯—操作類按鈕—移動(dòng)”功能設(shè)置三棱錐A'-AB'C'和B-ACB'，使其達(dá)到切割的目的。并設(shè)置逆向移動(dòng)，使其達(dá)到合并的目的（圖4）。

2.1.3 化無(wú)限為有限

無(wú)論是數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)定理，還是數(shù)學(xué)思想和方法，都是通過(guò)無(wú)限的特殊的個(gè)體而總結(jié)出的不變的一般的性質(zhì)和規(guī)律。面對(duì)忽略了過(guò)程的“冷酷”的結(jié)論性數(shù)學(xué)概念、定理和思想方法，學(xué)生們感到“茫然”。利用幾何畫板提供的豐富的工具箱和繪圖、變換等功能，可以通過(guò)化無(wú)限為有限還原數(shù)學(xué)對(duì)象發(fā)生和發(fā)展的過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的理解和記憶。

例3：“指數(shù)函數(shù)圖像和性質(zhì)”的教學(xué)處理[5]

狀和位置，歸納冪函數(shù)的性質(zhì)。利用幾何畫板的測(cè)量和變換功能，可以為學(xué)生提供豐富多彩的無(wú)限的函數(shù)個(gè)體供學(xué)生研究，從而得出參數(shù)y=ax的取值對(duì)指數(shù)函數(shù) 的圖象和性質(zhì)的影響。具體過(guò)程如下：

1）作線段AB，并測(cè)量其長(zhǎng)度，則其長(zhǎng)度|AB|既可視為指數(shù)函數(shù)的。

2）利用“圖表”的“繪制新函數(shù)”功能繪制y=ax的圖象（圖5）。

教師可以拖動(dòng)B點(diǎn)來(lái)控制a取值的大小的變化，可以讓學(xué)生觀察(1，+∞)內(nèi)的任意函數(shù)的圖象，進(jìn)而可以歸納出y=ax圖象和性質(zhì)。其中，還解決了學(xué)生的一個(gè)困惑：為什么要求a≠1（圖6）。

2.2 師生合作的共探模式

現(xiàn)代教學(xué)論認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是師生雙方協(xié)同活動(dòng)完成的，是教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過(guò)程[6]。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容是人類浩瀚數(shù)學(xué)知識(shí)的很少的基礎(chǔ)性的部分內(nèi)容，有自己的發(fā)生發(fā)展歷程和內(nèi)在聯(lián)系。幾何畫板可以為這種有效的教學(xué)活動(dòng)提供良好的共探的平臺(tái)。通過(guò)幾何畫板提供的豐富的工具箱和測(cè)量、變換等功能，教師可以為學(xué)生提供豐富的促進(jìn)有效理解與記憶和良好問(wèn)題解決能力形成的有效平臺(tái)。

例4：用一條長(zhǎng)為10cm的繩子，圍成怎樣的矩形，才能使得矩形的面積最大？

分析：解決此問(wèn)題有兩個(gè)不同的方法，一個(gè)是利用不等式的性質(zhì)；另一個(gè)是利用二次函數(shù)的性質(zhì)。我們還可以利用幾何畫板的動(dòng)態(tài)作圖為學(xué)生順利解決這一類問(wèn)題創(chuàng)設(shè)良好的探究平臺(tái)。其制作過(guò)程如下：

1）先畫一長(zhǎng)為5cm的線段ED，在其上任取一點(diǎn)A；

2）定義A為旋轉(zhuǎn)中心，將點(diǎn)E旋轉(zhuǎn) 900到B點(diǎn)，作矩形ABCD ；

3）作動(dòng)畫A點(diǎn)在線段ED上移動(dòng)。

這時(shí)矩形ABCD的周長(zhǎng)均為10cm，但面積在不斷的變化著。為了找到面積變化的規(guī)律，可以指導(dǎo)學(xué)生按下列步驟進(jìn)行探究：

1）運(yùn)動(dòng)點(diǎn)A（只能在線段ED上運(yùn)動(dòng)），觀察矩形ABCD的周長(zhǎng)和面積變化的規(guī)律；

2）分別度量線段AB、BC的長(zhǎng)度，矩形ABCD的周長(zhǎng)和面積，依次選中AB、BC、周長(zhǎng)和面積的度量結(jié)果后，點(diǎn)選“圖表—制表”制得一表格，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)A后，雙擊表格得新的一行數(shù)據(jù)……（圖7），觀察表格中矩形ABCD的周長(zhǎng)和面積變化的規(guī)律；

3）選中表格，點(diǎn)選“圖表—繪制點(diǎn)”，并以度量AB的長(zhǎng)度作為自變量x（橫坐標(biāo)），矩形ABCD的面積作為因變量y（縱坐標(biāo)），在直角坐標(biāo)系中作出點(diǎn)p(x，y)，找出面積隨線段AB變化而變化的規(guī)律就是拋物線（圖8）。

至此，教師還可以進(jìn)一步提出更深層次的探究問(wèn)題：上例中如取消圍成矩形的限制，問(wèn)用10cm的繩子，圍成怎樣的形狀其圍出的面積最大？

2.3 學(xué)生為主體的探究模式

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。熟能生巧的現(xiàn)代研究，表明數(shù)學(xué)是“做”出來(lái)的，沒(méi)有通過(guò)演練形成的基本技能，不可能有真正的發(fā)展。幾何畫板可以為學(xué)生提供一個(gè)自由的、開闊的、十分理想的“做”數(shù)學(xué)的環(huán)境。它可以作為學(xué)生研究、猜測(cè)、發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證數(shù)學(xué)對(duì)象不變的規(guī)律和性質(zhì)的有一個(gè)電子“實(shí)驗(yàn)室”。這個(gè)“實(shí)驗(yàn)室”可以由教師提供。當(dāng)然，如果學(xué)生可以自己構(gòu)建，那就更好了。

例5: “一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的再研究”的教學(xué)處理

為了讓學(xué)生深入理解二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c中的參數(shù)a、b、c對(duì)其圖象的影響，我們可以用幾何畫板構(gòu)建一個(gè)“實(shí)驗(yàn)室”，讓學(xué)生自己去動(dòng)手探索。具體制作過(guò)程如下：

1）打開《幾何畫板》，首先定義一個(gè)直角坐標(biāo)系，在x軸上繪制三個(gè)點(diǎn)，并分別以這三個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)作x軸的垂線段，分別標(biāo)記為a、b、c；

2）分別度量出垂線段a、b、c終點(diǎn)的縱坐標(biāo)，并修改其標(biāo)簽為a、b、c（圖9）；

3）以2中的度量結(jié)果為參數(shù)，構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c ，并繪制出它的圖像；

（4）計(jì)算出-b/2a和(4ac-b2)/4a的值，分別以它們的值為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)繪制點(diǎn)（亦即拋物線的頂點(diǎn)），并過(guò)這一點(diǎn)作x軸的垂線（亦即拋物線的對(duì)稱軸）（圖10）；

在教學(xué)時(shí)，可以讓學(xué)生來(lái)操作，學(xué)生通過(guò)移動(dòng)垂線段a、b、c的終點(diǎn)來(lái)改變參數(shù)a、b、c的大小和符號(hào)，在改變的過(guò)程中觀察并記錄拋物線的變化情況，最后由教師帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)歸納出最終結(jié)果。

3 小結(jié)

本文的三個(gè)模式不是孤立的，我們是為了研究的必要才將其分門別類開來(lái)，它們應(yīng)當(dāng)是相輔相成的。在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，只要是為數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)和教學(xué)實(shí)際，我們既可以使用其中的某一個(gè)模式，也可以綜合起來(lái)運(yùn)用。幾何畫板在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)該得到廣泛應(yīng)用。幾何畫板的有效應(yīng)用不僅可以給數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)深刻變革，而且可以使學(xué)生接受知識(shí)的被動(dòng)地位得以改變，真正實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)中學(xué)生的主體性和教師的主導(dǎo)性。幾何畫板可以作為實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合的一個(gè)有效工具。

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文