科布——道格拉斯偏好支出比例不變新解

[摘要] 對于科布——道格拉斯偏好支出比例不變的代數推演論證大家已經耳熟能詳，因此，本文試圖利用圖形，從幾何的角度來論證這一命題，希望對科布——道格拉斯偏好的這種性質提供一種更為直觀、更為簡單的解釋。

[關鍵詞] 科布——道格拉斯偏好 預算約束 支出比例

在微觀經濟學中，要研究某種商品的定價，首先要理解消費者的行為，對消費者偏好進行研究，然后結合預算約束來測定消費者的選擇。

對大多數人而言，偏好應該滿足以下條件：

第一，偏好是完全的。消費者可以在所有的商品或商品組合中進行比較和排列。

第二，偏好是可傳遞的。如果消費在第一種商品和第二種商品之間更偏好第一種商品，在第二種商品和第三種商品之間更偏好第二種商品，那么在第一種商品和第三種商品之間，會更偏好第一種商品。因此，保證了偏好的一致性。

第三，在所有商品都是“好”商品的前提下，多比少好。

好行為偏好是日常生活中最常見的一種偏好。它有兩個基本假設：

第一個假設，在商品是“好的”前提下，消費者希望多消費這種商品，即“多比少好”。

第二個假設，“平均比極端好”，體現的是人們對商品種類多樣化的偏好特性。

消費者偏好可以用無差異曲線來描述。根據這個特性，具有好行為偏好的無差異曲線應該是凸向原點的。

科布——道格拉斯偏好（Cobb-Douglas preferences）是指具有如下形式的效用函數的偏好：

，其中，X，Y分別表示消費者在兩種商品上的消費量，分別表示消費者在這兩種商品上的支出比例。

顯然，科布——道格拉斯偏好滿足上述兩個假設，因此是一種好行為偏好，而且是一種最典型、最常用的好行為偏好。該偏好具有一個很好的性質：如果消費者對兩種商品具有科布——道格拉斯偏好，那么無論兩種商品的相對價格怎樣變化或者消費者的收入如何變化，花費在這兩種商品上的支出比例始終保持不變。也就是說，消費者在這兩種商品的支出完全取決于自己的偏好，而與商品的價格以及消費者的收入水平沒有任何關系，商品的價格和消費者的收入水平僅影響消費者對商品的消費量。

關于科布——道格拉斯偏好的這個性質，已經從代數推演方面得到了證實，主要是利用最優消費決策的等邊際法則，即商品消費的邊際替代率等于商品的交換替代率，即只有消費者愿意替換的比例等于商品實際的交換比例時，才實現了消費配置的最優。具體證明過程如下：

假設消費者擁有可支配收入I，對商品X和商品Y具有科布——道格拉斯偏好，其效用函數為:

根據等邊際法則，我們可以列出以下方程組：

其中，分別表示兩種商品X，Y的價格。

求解上述方程組，可以得到消費者的最優消費決策如下：

對上述式子，變形可得：

則，我們可以得到:，即消費者在兩種商品上的支出比例固定不變，與商品的價格和消費者的收入無關，僅取決于其偏好的變化。

對于科布——道格拉斯偏好的這種性質，筆者試圖利用幾何圖形，從另一個角度來證明它，這種方法可能更直觀，更簡單。具體證明過程如下。

首先，令表示消費者在商品X上的支出，表示消費者在商品Y上的支出，則消費者的預算約束可以表示為以下形式：

根據上述情形，我們可以構建如下圖形：

根據等邊際法則，對于消費者而言，無差異曲線與預算約束線的切點就是其最優消費決策點，在此點實現了消費者既定約束條件下的最大效用。因此，任意一條無差異曲線在該點的斜率都等于預算約束線的斜率-1。

我們先以點E1為例，在該點無差異曲線U1與預算約束線I1相切，根據效用函數，我們可以求得U1在點E1處的斜率：

令上式等于預算約束線的斜率，即，解得：

考慮到對于任意一個既定的U和I，我們都能夠得出相同的結果，則，我們可以得出結論：對于具有科布——道格拉斯偏好的消費者在兩種商品上的支出比例是固定的。

兩種方法都運用了消費決策的等邊際法則，前者是利用該法則的代數形式用偏導數求出消費決策的最優比例，后者則運用的是該法則的幾何圖形，整個過程更簡單，明了，直觀。

參考文獻：

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