科布——道格拉斯偏好支出比例不變新解

[摘要] 對(duì)于科布——道格拉斯偏好支出比例不變的代數(shù)推演論證大家已經(jīng)耳熟能詳，因此，本文試圖利用圖形，從幾何的角度來(lái)論證這一命題，希望對(duì)科布——道格拉斯偏好的這種性質(zhì)提供一種更為直觀、更為簡(jiǎn)單的解釋。

[關(guān)鍵詞] 科布——道格拉斯偏好 預(yù)算約束 支出比例

在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中，要研究某種商品的定價(jià)，首先要理解消費(fèi)者的行為，對(duì)消費(fèi)者偏好進(jìn)行研究，然后結(jié)合預(yù)算約束來(lái)測(cè)定消費(fèi)者的選擇。

對(duì)大多數(shù)人而言，偏好應(yīng)該滿足以下條件：

第一，偏好是完全的。消費(fèi)者可以在所有的商品或商品組合中進(jìn)行比較和排列。

第二，偏好是可傳遞的。如果消費(fèi)在第一種商品和第二種商品之間更偏好第一種商品，在第二種商品和第三種商品之間更偏好第二種商品，那么在第一種商品和第三種商品之間，會(huì)更偏好第一種商品。因此，保證了偏好的一致性。

第三，在所有商品都是“好”商品的前提下，多比少好。

好行為偏好是日常生活中最常見(jiàn)的一種偏好。它有兩個(gè)基本假設(shè)：

第一個(gè)假設(shè)，在商品是“好的”前提下，消費(fèi)者希望多消費(fèi)這種商品，即“多比少好”。

第二個(gè)假設(shè)，“平均比極端好”，體現(xiàn)的是人們對(duì)商品種類多樣化的偏好特性。

消費(fèi)者偏好可以用無(wú)差異曲線來(lái)描述。根據(jù)這個(gè)特性，具有好行為偏好的無(wú)差異曲線應(yīng)該是凸向原點(diǎn)的。

科布——道格拉斯偏好（Cobb-Douglas preferences）是指具有如下形式的效用函數(shù)的偏好：

，其中，X，Y分別表示消費(fèi)者在兩種商品上的消費(fèi)量，分別表示消費(fèi)者在這兩種商品上的支出比例。

顯然，科布——道格拉斯偏好滿足上述兩個(gè)假設(shè)，因此是一種好行為偏好，而且是一種最典型、最常用的好行為偏好。該偏好具有一個(gè)很好的性質(zhì)：如果消費(fèi)者對(duì)兩種商品具有科布——道格拉斯偏好，那么無(wú)論兩種商品的相對(duì)價(jià)格怎樣變化或者消費(fèi)者的收入如何變化，花費(fèi)在這兩種商品上的支出比例始終保持不變。也就是說(shuō)，消費(fèi)者在這兩種商品的支出完全取決于自己的偏好，而與商品的價(jià)格以及消費(fèi)者的收入水平?jīng)]有任何關(guān)系，商品的價(jià)格和消費(fèi)者的收入水平僅影響消費(fèi)者對(duì)商品的消費(fèi)量。

關(guān)于科布——道格拉斯偏好的這個(gè)性質(zhì)，已經(jīng)從代數(shù)推演方面得到了證實(shí)，主要是利用最優(yōu)消費(fèi)決策的等邊際法則，即商品消費(fèi)的邊際替代率等于商品的交換替代率，即只有消費(fèi)者愿意替換的比例等于商品實(shí)際的交換比例時(shí)，才實(shí)現(xiàn)了消費(fèi)配置的最優(yōu)。具體證明過(guò)程如下：

假設(shè)消費(fèi)者擁有可支配收入I，對(duì)商品X和商品Y具有科布——道格拉斯偏好，其效用函數(shù)為:

根據(jù)等邊際法則，我們可以列出以下方程組：

其中，分別表示兩種商品X，Y的價(jià)格。

求解上述方程組，可以得到消費(fèi)者的最優(yōu)消費(fèi)決策如下：

對(duì)上述式子，變形可得：

則，我們可以得到:，即消費(fèi)者在兩種商品上的支出比例固定不變，與商品的價(jià)格和消費(fèi)者的收入無(wú)關(guān)，僅取決于其偏好的變化。

對(duì)于科布——道格拉斯偏好的這種性質(zhì)，筆者試圖利用幾何圖形，從另一個(gè)角度來(lái)證明它，這種方法可能更直觀，更簡(jiǎn)單。具體證明過(guò)程如下。

首先，令表示消費(fèi)者在商品X上的支出，表示消費(fèi)者在商品Y上的支出，則消費(fèi)者的預(yù)算約束可以表示為以下形式：

根據(jù)上述情形，我們可以構(gòu)建如下圖形：

根據(jù)等邊際法則，對(duì)于消費(fèi)者而言，無(wú)差異曲線與預(yù)算約束線的切點(diǎn)就是其最優(yōu)消費(fèi)決策點(diǎn)，在此點(diǎn)實(shí)現(xiàn)了消費(fèi)者既定約束條件下的最大效用。因此，任意一條無(wú)差異曲線在該點(diǎn)的斜率都等于預(yù)算約束線的斜率-1。

我們先以點(diǎn)E1為例，在該點(diǎn)無(wú)差異曲線U1與預(yù)算約束線I1相切，根據(jù)效用函數(shù)，我們可以求得U1在點(diǎn)E1處的斜率：

令上式等于預(yù)算約束線的斜率，即，解得：

考慮到對(duì)于任意一個(gè)既定的U和I，我們都能夠得出相同的結(jié)果，則，我們可以得出結(jié)論：對(duì)于具有科布——道格拉斯偏好的消費(fèi)者在兩種商品上的支出比例是固定的。

兩種方法都運(yùn)用了消費(fèi)決策的等邊際法則，前者是利用該法則的代數(shù)形式用偏導(dǎo)數(shù)求出消費(fèi)決策的最優(yōu)比例，后者則運(yùn)用的是該法則的幾何圖形，整個(gè)過(guò)程更簡(jiǎn)單，明了，直觀。

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