淺談數學教學中的抽象與具體

摘要：數學所需要的主要是關于空間形式和數量關系的抽象能力，在數學教學過程中必須正確處理抽象與具體的關系，采取適當方法培養并發展學生的抽象概括能力。

關鍵詞：數學；抽象；具體

從具體到抽象，這是認識的基本規律，因此也是任何課程的教學必須遵循的規律。由于數學這門學科特點之一就是具有高度的抽象性，所以數學教學必須把發展學生的抽象思維作為一個主要出發點。數學教學過程貫徹落實這一基本規律是特別重要的，并且有一些值得注意的特點，而正確地理解好具體和抽象之間的相互關系，就成為數學教學的基本要求。

一、 數學的抽象性

數學，它以現實世界的空間形式和量的關系作為研究對象，所以，它的研究對象本來是十分具體的，但是，為了在比較純粹的狀況下研究空間形式和量的關系，才不得不把客觀對象的所有其他特性拋開不管，而只抽象出其空間形式和量的關系進行研究。因此，數學具有十分抽象的形式，這就是數學的抽象性。其實一切科學都有一定的抽象性，不過數學的抽象是對空間形式和量的關系這一特性的抽象，而這一特性是事物最一般的也是最本質的特性之一。

數學的抽象性還表現為它的高度概括性。抽象和概括是互相聯系、不可分離的，而且抽象性越高的理論，越有可能、也有必要推廣到更廣泛的對象之中。所以，數學的抽象程度最高，其概括性也最強。通常說來，我們談到數學的抽象性時，往往包含了它的概括性。

數學的抽象性還有再抽象的特點。無論是在數學發展或數學教學過程中，都要經常反復地進行再抽象。例如，由數而式，再到函數，再得出集合和各種代數基本結構的概念。數學抽象性的又一個特點是大量使用抽象符號，抽象符號的使用，既增強了數學的精確化，也提高了數學的抽象性。

二、 數學抽象的相對性

數學內容的抽象性，往往掩蓋著它們與具體內容間的關系。比如，積分的概念，不僅名詞生疏，形式抽象，好像與具體內容格格不入，然而，只是在這些數學概念最終形成以后才給人以如此抽象的印象。在這些內容的形成過程中，往往以大量的具體內容作基礎，它在形成過程中密切地和求曲線形面積、旋轉體體積、水的流量、液體中物體所受的壓力等有關。甚至一些抽象的數學思想、數學方法也往往有十分現實、具體的背景。例如數學歸納法，它是如此抽象的一種數學方法，但只不過是逐次數數以至無窮、或是楊輝三角形逐層遞推等具體過程的抽象。

在數學課上講授一些抽象概念、方法時，完全可以憑借一些十分具體的素材作為模型。作為集合論的內容，當然是十分抽象的，但卻可以借用一些生產、生活實例，以及一些具體的數的集合，將它處理得十分具體而又生動有趣、形象易懂。再如數理邏輯，也是從一開始就十分抽象，結合電路邏輯處理，就可以成為具體而生動的了。

總之，數學的抽象性并不排斥具體性。恰恰相反，現實的具體素材是認識空間形式和量的關系的基礎，是過渡到抽象的概念和方法的必不可少的初始環節。也就是說，抽象性以具體性為基礎，具體性不僅不妨礙過渡到抽象結論，而且還是抽象的理論思維的基礎和保證。所以，在教學過程中對抽象性逐步提出合理的要求，并采取適當方法予以落實，對培養和發展學生的抽象能力是至關重要的。

三、 直觀化是從具體上升到抽象的輔助手段

1. 直觀教具的使用。恰當地演示直觀教具，制作直觀模型，并輔以教師的分析，將有利于從不同的感覺渠道同時往大腦輸送相關的信息，從而有利于對相應數學概念的理解和掌握。

直觀教具的使用，主要是為了幫助學生發現并理解數學結構，使用直觀教具還有利于發展學生的觀察和分析能力，甚至也有利于發展學生的抽象思維。因為對直觀教具進行觀察、實驗和測量，能充分調動感覺器官的作用，從而形成大量的感覺和表象，這些是形成抽象的數學結論的基礎。當然，使用直觀教具要適量、典型，能最大限度地引起學生的積極性，并有利于歸納出所要講授的數學結論，因為使用直觀教具不是目的，而是形成抽象結論、提高抽象能力的一種手段。

2. 數形結合的方法。直觀化的另一方法是數形結合。作為直觀化一種手段的數形結合，既是數學的一個非常基本的討論對象，也是數學的一種十分基本的方法。數學內容中，數的概念的教學緊密地與實數軸、復平面結合在一起；初等函數的教學緊密地與它們的圖像結合在一起，進而獲得方程、方程組、不等式和不等式組的幾何解法。

綜上所述，數學的抽象性確實具有一系列的特點，因此，數學教學過程中必須充分注意這些特點，以使學生能逐步適應這些特點的要求。

（江西交通職業技術學院）