例說差異分析法在三角變換中的應(yīng)用

我們在解題時常常會碰到題目的條件與結(jié)論間在其形式#65380;結(jié)構(gòu)#65380;圖形或數(shù)字上存在著差異，我們解決數(shù)學(xué)問題實際上就是在題目的已知條件和待求結(jié)論中架起聯(lián)系的橋梁，也就是在分析題目中已知與待求之間差異的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析，化歸和消除這些差異#65377;當(dāng)然在這個過程中也反映出對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識掌握的熟練程度#65380;理解程度和數(shù)學(xué)方法的靈活應(yīng)用能力#65377;本文通過數(shù)例，闡述差異分析法在求解三角問題中的具體應(yīng)用，旨在引起讀者的關(guān)注，從而強(qiáng)化學(xué)生在解題時觀察問題的意識，提高分析問題#65380;解決問題的能力#65377;

1.角的差異分析

例1.已知sin( -x)= ，(0

分析:容易看出，已知與所求之間的差異主要是已知角 -x與所求角2x， +x間的#65377;消除角差異的方法有兩種:一是將所有的復(fù)角都變?yōu)閱谓牵賹で舐?lián)系;二是挖掘已知與未知間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn) -x= -( +x)，2x= -2( +x)，可將未知角向已知角靠攏#65377;兩種思路都能走得通，本文給出第一種思路的解法#65377;

解:∵ = = (cosx+sinx)

由已知sin( -x)= (cosx-sinx)= ，

即(cosx-sinx)= ?圯2cosxsinx=

∴(cosx+sinx) =1+2cosxsinx=

又00

∴cosx+sinx=

∴原式= (cosx+sinx)=

評注:三角函數(shù)中給條件求值的問題，如何充分利用條件，是解好此類問題的關(guān)鍵#65377;充分注意到待求角與已知角間的差異與聯(lián)系，便是決定解題成敗的關(guān)鍵#65377;

2.函數(shù)名的差異分析

例2.求證: = sin2α#65377;

分析:觀察知，等式左右兩邊的差異反映在角#65380;函數(shù)名稱#65380;次數(shù)#65380;結(jié)構(gòu)四個方面，從其某一方面入手，逐漸消除差異就可得到不同的證法#65377;

證明:從函數(shù)入手，化切為弦，以右式為目標(biāo)，對左式進(jìn)行變化#65377;

左式= = = = sin2α=右式

故原式成立#65377;

評注:本題此外也可從角入手，都化為α，右式易變形為 sinα#8226;cosα，以此式為目標(biāo)變形左式;或從次數(shù)入手，右式為目標(biāo)，對左式進(jìn)行將次，本文不再贅述#65377;由于三角恒等式的證明的方法較多，因而從不同的角度去證明同一問題，并從中比較出較優(yōu)的證法，可以提高恒等變形能力#65377;

3.次數(shù)的差異分析

例3.(07陜西卷17)已知函數(shù)f(x)=2sin cos -2 sin+ #65377;

(Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期及最值;(Ⅱ)(略)#65377;

分析:先將三角函數(shù)式降次化為標(biāo)準(zhǔn)式#65377;

解:(Ⅰ)Qf(x)=sin + (1-2sin)=sin + cos =2sin +

∴f(x)的最小正周期T= =4π.

當(dāng)sin + =-1時，f(x)取得最小值-2;當(dāng)sin + =1時，f(x)取得最大值2#65377;

評注:研究三角函數(shù)周期#65380;最值#65380;單調(diào)性等性質(zhì)時，常常通過恒等變形將函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本三角函數(shù)類型或y=Asin(ωx+φ)等形式，通常要降次或升冪以達(dá)到統(tǒng)一次數(shù)的要求進(jìn)行化歸#65377;

從以上幾例可以發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)行三角函數(shù)的化簡#65380;證明#65380;求值變換中，我們解題的關(guān)鍵就是在熟記三角公式的前提下對角#65380;函數(shù)名及運算結(jié)構(gòu)進(jìn)行差異分析，然后利用公式建立差異間的聯(lián)系，而在整個解題過程中，既要注意把握變換的方向，又要熟悉變換的方法，還要恰當(dāng)運用某些變換技巧#65377;

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文#65377;”