單位脈沖函數(shù)δ（ｔ）及其性質(zhì)

概要: 本文給出了單位脈沖函數(shù)的定義及若干性質(zhì)，并結(jié)合傅里葉變換給出了一些性質(zhì)的應(yīng)用，對工程技術(shù)中單位脈沖函數(shù)的應(yīng)用具有指導(dǎo)意義#65377;

關(guān)鍵詞: 單位脈沖函數(shù) 性質(zhì) 工程技術(shù)

單位脈沖函數(shù)δ(t)(以下簡稱δ(t))是物理及工程技術(shù)中的一個(gè)重要的函數(shù)，有其相當(dāng)多的物理背景，其物理意義為t=0在時(shí)刻有一個(gè)強(qiáng)度為1的沖擊#65377;工程上一般采用弱極限來定義，但δ(t)與普通函數(shù)又不一樣，不是值與值的對應(yīng)關(guān)系，它是一個(gè)廣義函數(shù)，而其本質(zhì)是一泛函，對于具有一般高等數(shù)學(xué)知識的人員來說是難以理解的#65377;下面，筆者根據(jù)δ(t)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義以及結(jié)合傅里葉變換給出它的一些性質(zhì)及應(yīng)用#65377;

1.單位脈沖函數(shù)δ(t)的定義

設(shè)D是-∞

2.單位脈沖函數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)1:δ(t)=δ(-t)，即δ(t)為偶函數(shù)#65377;

證明:設(shè)f(t)為任一連續(xù)函數(shù)，則f(-x)也為連續(xù)函數(shù)，

于是由?蘩δ(t)f(t)dt=f(0)

可得?蘩δ(-t)f(t)dt =?蘩δ(x)f(-x)d(-x)=?蘩δ(x)f(-x)dx=f(0)

所以?蘩δ(t)f(t)dt=?蘩δ(-t)f(t)dt=f(0)，則有δ(t)=δ(-t)#65377;

性質(zhì)2:?蘩δ(t-t )f(t)dt=f(t )，其中f(t)為任一連續(xù)函數(shù)，t 為一有限值(以下同)#65377;

證明:?蘩δ(t-t )f(t)dt =?蘩δ(x)f(x+t )dx=f(0+t )=f(t )#65377;

注:因f(t)=1為連續(xù)函數(shù)，所以立刻可得到我們熟悉的公式:?蘩δ(t-t )dt=1#65377;此式也是δ(t)在工程技術(shù)上廣泛應(yīng)用的依據(jù)#65377;

性質(zhì)3:δ(t-t )=δ(t -t)

證明:設(shè)f(x)為任一連續(xù)函數(shù)，

則?蘩δ(t -t)f(t)dt =-?蘩δ(x)f(t -x)dx=?蘩δ(x)f(t -x)dt=f(t -0)=f(t )

又由性質(zhì)2可知，δ(t-t )=δ(t -t)#65377;

注:在此式中令t =0即可得性質(zhì)1#65377;

性質(zhì)4:δ(t-t )f(t)=δ(t-t )f(t )，其中f(t)為連續(xù)函數(shù)#65377;

證明:由?蘩δ(t-t )f(t)dt=f(t )及?蘩δ(t-t )f(t )dt=f(t )即可得此性質(zhì)#65377;

性質(zhì)5:δ[a(t-t )]= δ(t-t )，其中a≠0#65377;

證明:設(shè)f(t)為任一連續(xù)函數(shù)，

當(dāng)a>0時(shí)，

?蘩δ[a(t-t )]f(t)dt = ?蘩δ(x)f( +t )dx= f( +t )= f(t )

當(dāng)a<0時(shí)，

?蘩δ[a(t-t )]f(t)dt = ?蘩δ(x)f( +t )dx=-?蘩δ(x)f( +t )dx=- f(t )= f(t )

又?蘩 δ(t-t )f(t)dt= ?蘩δ(t-t )f(t)dt= f(t )

所以有δ[a(t-t )]= δ(t-t )#65377;

3.δ(t)性質(zhì)應(yīng)用舉例

例1:求函數(shù)f(t)=sin(5t+ )的傅里葉變換#65377;

解1:f(t)=sin(5t+ )= sin5t+ cos5t，

由傅里葉變換的線性性質(zhì)，有

F[f(t)]= F(sin5t)+ F(cos5t)

= πi[δ(w+5)-δ(w-5)]+ π[δ(w+5)+δ(w-5)]

=π( + i)δ(w+5)+π( - i)δ(w-5)

解2:由傅里葉變換的位移性質(zhì)，

F[f(t)]=F[sin5(t+ )]=e πi[δ(w+5)-δ(w-5)]=πi[e δ(w+5)-e δ(w-5)]

兩種解法結(jié)果形式上不一致，可利用δ(t)性質(zhì)4變形，有

F[f(t)]=πi[e δ(w+5)-e δ(w-5)]

=πi[e δ(w+5)-e δ(w-5)]

=πi[cos(- )+isin(- )]δ(w+5)-[cos +isin ]δ(w-5)

=π( + i)δ(w+5)+π( - i)δ(w-5)

最終兩種解法可得到同樣的結(jié)果#65377;

例2:求函數(shù)f(t)=cos5t的傅里葉變換#65377;

解:由公式F[cost]=π[δ(w+1)+δ(w-1)]及傅里葉變換的反比特性，有

F[cos5t]= π[δ( +1)+δ( -1)]

= π[δ( +1)+δ( )](由δ(t)性質(zhì)5得到)

= π[|5|δ(w+5)+|5|δ(w-5)]

=π[δ(w+5)+δ(w-5)]

注:類似此例也可得到公式F[cosw t]=π[δ(w+w )+δ(w-w )]

例3:求F(w)= e +πδ(w)的傅里葉逆變換#65377;

解:因?yàn)镕(w)= e +πδ(w)= e +πδ(w)e

=e [ +πδ(w)]=F[u(t-1)]

則有F [ e +πδ(w)]=u(t-1)

注:此例反用δ(t)性質(zhì)4，使解題過程簡潔#65377;

由以上三例可以看出，只有熟悉δ(t)函數(shù)的性質(zhì)，才能在工程技術(shù)應(yīng)用中，才能真正實(shí)現(xiàn)單位脈沖函數(shù)δ(t)的價(jià)值#65377;

參考文獻(xiàn):

[1]張韻琴.單位脈沖函數(shù)中的若干問題[J].工科數(shù)學(xué)，1994，(3):116-120.

[2]程其襄，張奠宙，魏國強(qiáng).實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社，1983.

[3]陳洪，賈積身，王杰.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].北京:高等教育出版社，2002.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文#65377;”