初中數學概念教學的層次分析

對于許多中學生來說，學數學難，但又不得不學。在學生眼里，數學是一個個概念、公式、定理、習題的堆積物，它是如此的抽象、散亂、遙遠、不可琢磨，它們就像石塑一般，充滿著理性精神的美，卻顯得冰冷和生硬，尤其對于數學概念的理解與把握，往往是吃不透摸不準。而數學概念是學生進行判斷、推理的基礎，清晰的概念是正確思維的前提。這就促使筆者常去思考如何抓好概念教學，如何讓學生按照自身的基本規律獲得概念。在概念教學中，教師要講究教學方法，利用新課程的教學理念，注重概念的形成過程，多啟發學生，多培養學生的主動性與創造性，同時要幫助學生理解概念的本質，弄清概念之間的區別與聯系。

在初中數學教學中，加強概念的教學，正確理解數學概念是掌握數學基礎知識的前提，是學好定理、公式、法則和數學思想的基礎，搞清概念也是提高解題能力的關鍵。在新一輪課改理念的引領下，結合自己的教學實踐，筆者就數學概念教學中的有關問題與大家共同探討。

最近筆者聽了一位教師的《一次函數》第一節課后，對數學概念教學感觸很深。這節課是這樣安排的：

1.活動階段

（1）教師給出一組函數引導學生去觀察，找出它們的共性。例如：y=x+1，y=-x-1。

2.探究階段

（2）讓學生提出這一組例子的共性假設，并依據這些假設檢驗每一個例子。

3.對象階段

（3）提出一個一般模式（由學生通過比較分析和概括歸納而得）y=kx+b，（k≠0）檢驗是否每一個實例均屬于這一模式。

（4）教師給出一次函數的定義，并對其進行解釋，將這一函數表達式與學生們已學過的正比例函數的概念聯系起來，這不僅可以說明研究這個新函數的意義，而且建立了函數概念的網絡結構。

4.運用新概念解決問題

（5）舉出正反例強化概念。

（6）舉例，練習。

5.小結反思新概念形成過程

一、對上述課堂的分析與點評

顯然這種概念的引入注重了知識的形成方式，它反映了學生學習數學概念過程中真實的思維活動。其中的“活動”階段是學生理解概念的一個必要條件，通過“活動”讓學生親身體驗、感受直觀背景和概念間的關系；“探究”階段是學生對“活動”進行思考，經歷思維的內化、概括過程，學生在頭腦中對活動進行描述和反思，抽象出概念所特有的性質；“對象”階段是通過前面的抽象認識到了概念本質，對其進行“壓縮”并賦予形式化的定義及符號，使其達到精致化，成為一個思維中的具體的對象，在以后的學習中以此為對象進行新的活動；“運用新概念解決問題”要經過長期的學習活動進一步完善，包含反映概念的特例、抽象過程、定義及符號，經過學習，建立起與其它概念、規則、圖形等的聯系，它主要突出歸納，有利于訓練學生的推理能力。

二、傳統的數學概念教學的方式、結構以及在實際教學中產生的利與弊

傳統的數學概念教學大多采用“同化方式”進行。通常分為以下幾個步驟：

1.揭示概念的本質屬性，給出定義、名稱和符號；

2.對概念進行特殊分類，揭示概念的外延；

3.鞏固概念，利用概念解決定義進行簡單的識別活動；

4.概念的應用與聯系，用概念解決問題，并建立所學概念與其他概念間的聯系。

這種教學過程簡明，使學生可以比較直接地學習概念，節省時間，被稱為是“學生獲得概念的最基本方式”。但是僅從形式上做邏輯分析讓學生理解概念是遠遠不夠的。數學概念具有過程—對象的雙重性，既是邏輯分析的對象，又是具有現實背景和豐富寓意的數學過程。因此，必須返璞歸真，揭示數學概念的形成過程，讓學生從概念的現實原型、概念的抽象過程、數學思想的指導作用、形式表述和符號化的運用等多方位理解一個數學概念，使之符合學生主動建構的教育原理。

事實上，對每一個數學概念的處理，都可以采用這兩種方式去引入，相對而言，傳統教學比較注重同化方式，傳統的教學模式下學生的學習缺少“活動”階段，對概念的形成過程沒有充分體驗，學生對數學概念的建立靠教師代替，快體驗、快抽象。當前課程改革提倡的教學模式是以形成方式為主，新課改理念下的數學概念教學是由學生活動、探究到對象、圖式的學習過程，體現了數學知識形成的規律性。我們認為，兩種概念教學方式各有利弊，不能顧此失彼，一概而論。數學概念教學應將兩種方式并重，這樣做無論是從教學投入與產出比，還是從培養學生完整的思維習慣方面都是合理的。至于采用哪種方式引入概念為好，取決于學生已有的認知水平和具體的教學內容。一般而言，在學習比較簡單的概念時，宜采用概念形成；在學習比較復雜的概念時，宜采用概念同化。后者要用較多的其他概念作為支撐，要充分利用原有認知結構中的相關知識。運用形成方式是不容易形成概念的，而采用同化方式則相對來說容易形成概念。當然，上述情形不是絕對的，教學中如何選用引入概念的方式，要具體情況具體分析。

三、兩種教學模式下學生學習方式、效果的對比分析

為了使學生理解概念，首先，教師應當充分揭示概念的內涵，揭示概念的內涵應多方位、多側面，結合概念性質的學習，從多角度去審視同一個概念，使學生在頭腦中形成概念域。同時，結合對反例的辨認，明確概念的外延。第二，形成概念體系。無論哪種方式，學生的學習都是建立在原有認知結構基礎之上的，都要借鑒原有的認知水平。與新課改理念相比，傳統的教學模式下學生的學習缺少“活動”階段，對概念的形成過程沒有充分體驗，學生數學概念的建立靠教師代替，快體驗、快抽象。反映出的情況有：

1.過快的抽象過程使得只能有一少部分學生進行有意義的學習，難以引發全體學生的學習活動，大部分學生理解不了數學概念，只能靠死記硬背。例如學生學習有理數運算很長時間，還經常出現符號運算錯誤，這就是學生對有理數運算沒有理解而造成的。

2.由教師代替學生快體驗、快抽象出數學概念，即使是能跟隨教師進行有意義學習的學生其學習活動也是不連貫的，建構的概念缺乏完整性。例如學生學習了代數式的概念，經常出現a+a+a×2=3a×2，25x-4=21x，5yz-5z=y等錯誤，這是因為學生沒有進行必要的“活動”，使“探究”的體驗不完整造成的，說明學生還停留于運算過程層面，對方程對象的結構特征不理解。

3.學生建構概念的圖式層面是學習的最高階段，在現有教學環境下很多學生難以達到這一層面。

四、新課改理念下數學概念教學的策略

新課改理念下的數學概念教學是由學生活動、探究到對象、圖式的學習過程，體現了數學知識形成的規律性。為此，筆者結合自己的教學實踐對數學概念教學采取以下策略：

1.把“教”建立在學生“學”的活動中

為了使學生建構完整的數學知識，首先要設計學生的學習活動。這需要教師創設問題情境，設計時要注意以下幾個方面：①能揭示數學知識的現實背景和形成過程；②適合學生的學習水平，使學習活動能順利展開；③適當數量的問題，使學生有充足活動體驗；④注意趣味性，活動形式可以多種多樣，引起全體學生的學習興趣。

2.體現數學知識形成中的數學思維方法

數學思維方法是知識產生的靈魂，把握數學知識形成中的數學思維方法，是學生展開思維、建構概念的主線。學生學習中要給予提示、建議并在總結中歸納。另外，要設計能引起學生反思的提問，如“你的結果是什么？”“你是怎樣得出的？”“你為什么怎樣做？”使學生能順利完成由“活動”到“探究”、由“探究”到“對象”的過渡。

3.數學對象的建立需經多次反復

一個數學概念由“探究”到“對象”的建立，有時既困難又漫長（如函數概念）。“探究”到“對象”的壓縮、抽象需要經過多次反復，循序漸進，螺旋上升，直至學生真正理解。“對象”的建立要注意簡練的文字形式和符號表示，使學生在頭腦中建立起數學知識的直觀結構形象。教師要加強知識間的聯系和應用，幫助學生在頭腦中建立起完整的數學知識的心理圖式。

綜上所述，數學概念教學應努力通過揭示概念的形成、發展和應用的過程，培養學生的辯證唯物主義觀念，完善學生的認知結構，發展學生的思維能力。我們只要遵循認識規律，注意概念教學的研究與實踐，就不難提高數學的教學質量。