矩陣求逆的推廣和計算

摘要： 在線性代數(shù)中矩陣必須滿足非奇異條件才能求出逆矩陣，但是在線性方程組求解、矩陣方程、投入產(chǎn)出分析、線性規(guī)劃、控制論等各種實際問題中，經(jīng)常出現(xiàn)奇異矩陣和長方形矩陣，本文討論這一類矩陣的廣義逆問題，并且利用矩陣的初等變換方法，總結(jié)出方便易行的計算廣義逆的方法。

關(guān)鍵詞：矩陣 逆矩陣 廣義逆 初等變換

1.逆矩陣的推廣

在線性代數(shù)中，逆矩陣的理論是基本的教學(xué)內(nèi)容，在線性方程組求解、矩陣特征值和特征向量的計算等問題中具有重要的應(yīng)用。但是矩陣的逆有很大的局限性，當(dāng)矩陣是奇異矩陣或者是長方形矩陣時，就不存在逆矩陣。為了推廣矩陣的逆，解決矩陣方程、投入產(chǎn)出分析、線性規(guī)劃、控制論等課題中出現(xiàn)的矩陣計算問題，人們引進了廣義逆矩陣。

1.1廣義逆A

設(shè)C為復(fù)數(shù)域，C 是n維復(fù)數(shù)域的向量空間，C 是m×n復(fù)矩陣的全體，C是秩為r的m×n的復(fù)矩陣的全體，R（A）={y∈C ：y=Ax，x∈C }是矩陣A的值域，我們知道，對每個非奇異矩陣A∈C有一個唯一的矩陣X∈C滿足AX=I，XA=I，X就是A的通常逆，記作為X=A 。

定義1：如果X滿足下式四個矩陣方程：

AXA=A，（1）

XAX=X，（2）

（AX） =AX，（3）

（XA） =XA（4）

那么X稱為A的Moore-Penrose廣義逆（M-P逆），記作X=A 。當(dāng)m=n=rank（A），可以得出A =A ，這時Moore-Penrose逆A 變成通常逆A 。

可以證明，滿足上述條件（1）—（4）的廣義逆A 是存在唯一的，并且具有下列一些類似于通常逆的性質(zhì)：

（1）（A ） =A；

（2）（A ） =（A ） ；

（3）（AA ） =（A ） A ；（A A） =A （A ） ；

（4）A =（A A） A =A （AA ） 。

1.2廣義逆

討論相容線性方程組Ax=b（A∈C ，b∈C ）的解的表示時，用到下列形式的廣義逆矩陣。

定義2：設(shè)A∈C ，若存在矩陣X∈C ，使得AXA=A，則稱X為A的一個減號廣義逆或{1}逆，記為A ，Ａ的全部減號廣義逆的集合記為A{1}。這里定義的X具有下列性質(zhì)：對每個使得Ax=b相容的b∈C ，Xb是方程組的解當(dāng)且僅當(dāng)X滿足AXA=A。

對什么樣的矩陣A∈C ，它有減號廣義逆？怎樣求減號廣義逆？我們先回答這個問題。設(shè)A∈C ，rank（A）=r，若存在可逆陣P∈C 和Q∈C ，使得PAQ=I ?搖?搖00?搖?搖0，則可以直接用定義驗證：G∈A{1}的充分必要條件是G=QI ?搖?搖?搖UV?搖?搖WP，其中U∈C ，V∈C ，W∈C 是任意的。

可以證明A 滿足以下一些性質(zhì)：

（1）rank（A）≤rank（A ）；

（2）若A∈C ，rank（A）=n，則A =A ，且A 唯一；

（3）AA 與A A都是冪等矩陣，且rank（A）=rank（AA ）=rank（A A）；

（4）R（AA ）=R（A），N（A A）=N（A）。

2.廣義逆A 和A 的計算

2.1 A 的計算

一個不是列（行）滿秩的非零矩陣可以表示成一個列滿秩和一個行滿秩矩陣的乘積，這就是矩陣的滿秩分解。利用滿秩分解可以直接得到計算A 。設(shè)A∈C，r＞0，則存在B∈C及C∈C，使A=B#8226;C，則利用上式容易驗證：A =C （B AC ） B =C （CC ） （B B） B 。

下面具體說明用初等變換的方法計算A 的過程。設(shè)E∈C，若E具有形式E=CO，其中O為（m-r）×n階零陣，C=（c ）∈C ，滿足：（1）c =0，i＞j；（2）C的每一行第一個非零元為1；（3）若第i行第一個非零元為c =1，則C的第j列是單位向量e 。我們稱E為階梯形。

若A∈C，則有：（1）A總可通過行初等變換化為階梯形，即存在排列陣P∈C ，使得PA=E 為階梯形；（2）對給定的A，用行初等變換化得的階梯形唯一；（3）若E 是A的階梯形，E 中的單位向量出現(xiàn)于第i ，i …i 列中，則A的相應(yīng)列{a ，a ，…，a }構(gòu)成R（A）的基底，這個特殊的基底稱為A的特異列，而A的其余列稱為非特異列；（4）設(shè)E 是前述形式的階梯形，則N（A）=N（E ）=N（C）；（5）設(shè)E 是前述形式的階梯形，B∈C 是由A的特異列構(gòu)成的矩陣，B=（a ，a ，…，a ），則A=B#8226;C是A的滿秩分解。于是可以用前面公式計算A ，下面看一個具體例子。

設(shè)A=1?搖2?搖?搖1?搖4?搖12?搖4?搖0?搖?搖6?搖61?搖2?搖0?搖?搖3?搖32?搖4?搖0?搖?搖6?搖6，則E =1?搖2?搖0?搖3 ?搖30?搖0?搖1?搖1?搖-20?搖0?搖0?搖0 ?搖00?搖0?搖0?搖0 ?搖0，

從而B=1?搖12?搖01?搖02?搖0，C=1?搖2?搖0?搖3?搖 30?搖0?搖1?搖1?搖-2

（B B） = ?搖1?搖?搖?搖-1-1?搖?搖10，（CC ） = 6?搖?搖?搖33?搖?搖23

所以A =C （CC ） （B B） B

= 27?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖6?搖?搖?搖?搖?搖?搖3?搖?搖?搖?搖?搖?搖654?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖12?搖?搖?搖?搖?搖6?搖?搖?搖?搖?搖12207?搖?搖?搖-40?搖?搖-20?搖?搖-40288?搖?搖?搖-22?搖?搖-11?搖?搖-22-333?搖?搖?搖98?搖?搖?搖?搖49?搖?搖?搖?搖98。

上述用行初等變換化A為階梯形的方法實質(zhì)上是Gauss消去法的一種變形，比較適宜于低階矩陣。

2.2 A 的計算

前面已經(jīng)給出了A 計算的一般公式，下面用初等變換說明具體的計算廣義逆A 過程。

設(shè)矩陣A為mxn矩陣。當(dāng)rank（A）=r=m＜n時，對A施行和列的初等變換總可以將A變?yōu)槿缦路謮K矩陣：?魨=（?魨?魨 ）。當(dāng)rank（A）=r=n＜m時，對A施行和列的初等變換總可以將A變?yōu)槿缦路謮K矩陣?魨=?魨 ?魨 ；當(dāng)rank（A）=r＜min｛m，n｝，對A施行和列的初等變換總可以將A變?yōu)槿缦路謮K矩陣?魨=?魨 ?搖?魨 ?魨 ?搖?魨 ，其中?魨 是r×r階滿秩矩陣，?魨 ，?魨 是具有適當(dāng)階數(shù)的矩陣且滿足?魨 =?魨 ?魨?魨 ，即?魨=PAQ。

這里P是一系列的行初等矩陣的積，Q是一系列的列初等矩陣的積，則可以驗證?魨=?魨?搖00?搖?搖?搖?搖0是?魨的廣義逆矩陣。從?魨=PAQ可知A=?魨，所以A =（P ?魨Q ） =Q?魨 P。

若設(shè)P=P P …P P ，Q=Q Q …Q Q ，P （i=1，…，n）為相應(yīng)于對A施行的一系列行初等變換的初等矩陣；Q （i=1，…，n）為相應(yīng)于對A施行的一系列列初等變換的初等矩陣，則有PAQ=P P …P P AQ Q …Q Q =?魨=?魨 ?搖?魨 ?魨 ?搖?魨 。顯然，P=P P …P P I，Q=Q Q …Q Q I。即把同樣的行初等變換施加于I的結(jié)果是P，把同樣的列初等變換施行于I的結(jié)果便是Q，即用初等變換把A?搖II?搖O變成了A?搖PQ?搖O，于是用公式A =Q?魨 P便可以計算出A 。由上述過程可知，對于行滿秩矩陣或列滿秩矩陣，實際計算時更為簡便。

參考文獻：

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”