從正余弦定理應用教學談數學應用意識及能力的培養

摘要： 數學在現實世界中發揮著越來越重要的作用。美國數學課程標準中明確指出，社會對數學思維和問題解決的能力的需要已極大地提高了，能理解并很好地運用數學的學生將會有更多的機會，數學能力為學生開辟了廣闊的未來。然而，在實際的數學學習中，學生普遍遇到解題思路受阻，無法將已學知識與實際問題相聯系，或不能充分利用好已學的相關知識而使解題方法不佳，以致解題速度不快、解答過程繁冗、解答結果不準確等。因此，數學教學必須重視數學應用能力的鍛煉和培養，讓學生學會如何學習的同時知道如何學以致用，以增大學生認知結構的可利用性。本文就正余弦定理應用教學來談談如何培養五年制高職學生的數學應用意識和能力。

關鍵詞： 正余弦定理應用 數學應用意識 數學應用能力 五年制高職

1.任務驅動，設問在先，增強求知欲

“任務驅動”是一種建立在建構主義教學理論基礎上的教學法。建構主義教學設計原則強調：學生的學習活動必須與任務或問題相結合，以探索問題來引動和維持學習者的學習興趣和動機；建立真實的教學環境，讓學生帶著真實的任務學習；學生擁有學習的主動權，教師不斷地挑戰和激勵學生前進。

在引入正余弦定理之前可以先布置本次課后的“任務”：在視覺范圍內，有一座不知具體高度的山，現有工具：卷尺、測角儀，能否得到此山的大致高度？

這樣提出問題的優點在于：1.問題生活化，讓學生意識到知識的價值所在，消除學生潛意識里數學學而無用的誤解，激發探索欲；2.問題簡潔化，學生容易接近，易于審題，不會望題生畏，保護了學生的解題自信心。有了這兩點保證，學生將會主動帶著問題，有目的地去迎接新知識的引入。

2.認清對象，輕重分明

教師講課不能只是照本宣科，首先必須認清自己授課的對象，他們的知識基礎、他們的學習需求才是授課時應該考慮的重點。對于中學生來說，數學教學的目的是為了培養他們的邏輯思維，判斷推理和知識應用等多方面的能力，因此，公式的推導、分析理解及合理應用等方面都不可忽視；對于數學專業的本科生來說，數學教學是為了教會他們如何自學、如何創新，增加知識面的深度和廣度，以達到會用乃至會改進、會創新知識的目的。因此，結論的推導和分析才是講課的課上重點，在應用方面就是學生自己課后的任務了，仁者見仁，智者見智。然而，對于五年制高職的學生而言，他們學習數學的目的就是為了運用，數學知識的研究探討并不是他們的強項，更不是他們學習的任務，所以，對他們上課時結論的推導可以不作要求，知識的理解和應用是關鍵。

在引入正余弦定理時，可直接給出結論：

正弦定理： = = 。

余弦定理：a =b +c +2bc#8226;cosA，b =a +c +2ac#8226;cosB，c =a +b +2ab#8226;cosC。

當然，結論給出后進行相應的解釋來幫助理解和記憶也是必須的，學生只有在理解了公式的基礎上才能準確并靈活運用它。

3.運用現有結論，促成派生，擴大知識適用范圍

數學中的結論促成的派生就是我們常說的推論，推論的作用是將已經被認可和接受的結論中隱藏的一些結論用顯性的描述方式表示出來。

例如我們最熟悉的路程公式：s=v#8226;t，利用公式我們可以很明顯地意識到在速度v和時間t已知的情況下，路程s可以很方便地由速度和時間的乘積得到。那么如果知道了路程s和時間t能否求出速度v呢？對于我們有一定知識基礎的人來說答案顯而易見，只要將公式進行小小的變形即可求解，但對于初學者來說這是一個難點，因為邏輯推理的能力并非人們與生俱來的，它需要我們通過學習數學來一點一滴慢慢培養，而從已知結論推理出它的派生的過程既是我們邏輯推理能力的到培養的過程，也是我們開拓結論適用性的過程。

就余弦定理來說：a =b +c +2bc#8226;cosA，b =a +c +2ac#8226;cosB，c =a +b +2ab#8226;cosC。

以上的三個公式只適用于已知三角形兩邊和它們的夾角求解三角形的情況，然而只要我們將它們作一下變形：

cosA= ，cosB= ，cosC= 。

我們發現現在的公式適用的情況是已知三邊求三角。到此我們就將余弦定理的適用范圍推廣到兩種情況之下了。如此的思想在以前和今后的學習中也是時有出現。

4.歸納總結，增強知識結構的整體性與概括性

知識結構就是知識在人們頭腦中的系統組織，它具有整體性和概括性。認知心理學認為，知識結構的整體性越強、概括水平越高，就越有利于學習的保持與遷移。因此，在教學中我們必須隨著該教學進度的推進，及時歸納總結已學內容的規律，以促進學生認知結構概括水平的不斷提高，最終促使學生高效高質地整體掌握該單元，從而形成整體性強、概括程度高的知識結構。

在學習正余弦定理之前應該先讓學生思考一下：要確定一個三角形（即確定三角形的三邊和三角這六個量）至少需要那些已知條件？提示：利用三角形全等的判定定理，發現六個量一般只要知道其中的三個量就可以確定三角形了，也就是說三角形中已知三個量可以求解其余的三個量。但是有一種情況需要排除：已知三角形的三個角要求三條邊，顯然這種情況只能得到一些相似的三角形，即解有無數組，并不能唯一確定三角形，而除此之外的已知三個量都可以唯一確定三角形，即可以求解其余三個量。

那么具體的求解過程需要用到那些相應的知識呢？就是我們的正余弦定理，并且在給出我們的結論時總結出他們各自的適用情況也是必不可少的。

給出正弦定理： = = ，

根據公式觀察發現適用范圍：

（1）已知兩邊和它們其中一邊的對角求解三角形。

（2）已知兩角和任意的一邊求解三角形。

給出余弦定理：a =b +c +2bc#8226;cosA，b =a +c +2ac#8226;cosB，c =a +b +2ab#8226;cosC。

根據公式觀察發現適用范圍：（3）已知兩邊和它們的夾角求解三角形。

給出余弦定理的推論：cosA= ，cosB= ，cosC= 。

根據公式觀察發現適用范圍：（4）已知三邊求三角。

至此我們可以很直接地看到正余弦定理的用途。

5.注意策略的教學與培養，增強知識的可利用性

智育的目標是：第一，通過記憶，獲得語義知識，即關于世界的事實性知識，這是較簡單的認知學習。第二，通過思維，獲得程序性知識，即關于辦事的方法與步驟的知識，這是較復雜的認知學習。第三，在上述學習的同時，獲得策略知識，即控制自己的學習與認知過程的知識，學會如何學習，如何思維運用，這是更高級的認知學習，也是人類學習的根本目的。

在學習中，如果學生的認知結構中缺乏策略或策略的水平不高，那么學生的學習效果就不好，特別是在解題過程中，就會造成不能利用已學的相關知識而找不到解題途徑，或解題思路受阻，或解題方法不佳，以致解題速度不快、解答過程繁冗、解答結果不準確等。因此，數學教學必須重視策略的教學和培養，讓學生學會如何學習和如何思維，以增大學生認知結構的可利用性。

要做到這一點必須由淺入深，從簡單到復雜。在我們給出公式并道明其適用范圍后應當例舉一些相應的有針對性的習題加以練習，如適用范圍（1）給出后應接著給出：

例一：在△ABC中，已知a=20，b=10，A=60°，求解三角形；

并思考例二：在△ABC中，已知a=20，b=30，A=30°，求解三角形。

通過求解例題讓學生對正余項定理有更加直觀和深刻的理解，以便將它們靈活應用到實際問題當中去。

6.重視一題多解和錯解分析（多解的習題要有意講評，例題講解可故意設錯）

錯解分析能使學生注意到解答容易出錯的關鍵所在，同時使學生體驗到解題策略調節的必要性和方法，防止今后犯類似的錯誤，增強學生解題糾錯力。

就以上所舉的例一、例二而言，兩例貌似題型相同，實則答題結果卻有差別。

例一：利用正弦定理： = 可以很容易得到，sinB=b×sinA/a=10×sin60°/20= ，B≈25.7°，C=180°-A-B=94.3°，c=a×sinc/sinA=20×sin94.3°/（ ）≈23。

例二：利用正弦定理： = 也可以得到sinB=b×sinA/a=30×sin30°/20= ，然而此時的B≈48.6°或B≈131.4°，相應地C和c也應該有兩組解。

通過以上兩例解答的比較學生的答題謹慎度將能得到較大提高。

7.準備充分，挑戰實戰

在對理論知識有了充分的了解和認識后，就應該回到我們最初的目標——解決實際問題中去，以達到學以致用。構造三角形，利用正余弦定理，通過測量一些可以直接量得的邊和角的數據來間接計算出不可直接測得的山高。由此學生不僅體會到了知識的偉大，還得到了學習的動力，學習積極性必將大大提高。

參考文獻：

［1］“排列、組合”單元的教學體會——優化和發展學生教學認知結構的再認識.中國論文下載中心，2007.4.

［2］何小亞.數學學與教的心理學.華南理工大學出版社，2004.7.

［3］陳學軍.數學教學中學生學習策略的教學與培養.中學數學教學參考，1999.4.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”