證明在豎直方向的彈簧振子是簡諧運動

多數課外書中，對豎直彈簧振子的證明過程顯得較為簡單。一般只證明在最底端時的F回＝－kx，但對于彈簧振子在最高點，彈簧處于何種狀態，相當一部分同學只是停留在猜測上。所以出現一些有關豎直彈簧振子在振動過程中能量轉化的問題，學生就更加感到無從下手。下面，就豎直彈簧振子振動全過程中回復力，作一簡單證明。

圖１ 圖２

如圖1所示，彈簧原長時在A點，掛質量為m的物體后靜止在O點，B為物體被拉到最低點后松手瞬間的位置，當物體處于靜止狀態時，顯然O位置為平衡位置。

此時有：F=kΔx＝mg（Δx為此時彈簧伸長量），若將之拉下x1后釋放，松手瞬間，回復F回＝k(Δx+x1)－mg＝kx1， 而上升到最高點時，彈簧的彈力方向怎樣呢？

情況一：若剛才向下拉的位移x1＝Δx（如圖1），根據簡諧運動在空間中的對稱性，則必有上升到的最高點距平衡位置的位移大小也為Δx，則此時彈簧振子上升到的最高點正好為A點，彈簧恰好處于原長，即F彈＝0。

回復力F回＝F彈＋mg＝0＋kΔx＝kx1。

情況二：若剛才向下拉的位移x1＜Δx（如圖2），根據簡諧運動在空間中的對稱性，則必有上升到的最高點的位置在A點下方，圖3彈簧處于伸長狀態。

回復力F回＝mg－k（Δx－x1）＝mg－kΔx＋kx1＝kx1 。

情況三：若剛才向下拉的位移x1＞Δx（如圖3），根據簡諧運動在空間中的對稱性，則必有上升到的最高點的位置在A點上方，彈簧處于壓縮狀態。

回復力F回＝mg＋k（x1－Δx）＝mg＋kx1－kΔx＝kx1。

以上所有情況中，都取平衡位置為位移起始點，則有F回＝－kx1。

綜上所述，彈簧振子在最高點時，彈簧處于何種狀態，與被人拉下的位移x1及處于自然狀態時彈簧伸長量Δx之間的大小有關，因此，豎直彈簧振子在上升的過程中，重力勢能增大，動能先增大后減小，彈性勢能可能一直減小，也可能先減小而后增大。同理可分析如圖4的彈簧振子在最高點的彈簧情況及能量的轉化情況。

（溫州電視中專瑞安分校）