一個等腰三角形性質的推廣和應用

文[1]中給出一個等腰三角形的性質定理：

定理1已知△ABC中，AB＝AC，如果D為BC邊上任意一點，那么AD2-AB2＝BD·DC。

現把定理1條件中的點在底邊上改為點在底邊的延長線上，就得：

定理2如圖1，已知△ABC中，AB＝AC，如果D為BC延長線上任意一點， 那么AD2－AB2＝BD·DC。

由定理1和定理2得：

定理3：等腰三角形底邊所在直線上任意一點到底邊兩端點的距離的積等于腰長與這點到頂點距離的平方差的絕對值。

靈活巧妙地應用定理2，也可非常簡捷地解一類與等腰三角形有關的問題，舉例說明如下：

例2：△ABC中，AB＝AC＝2，BC邊延長線上有100個不同的點P1，P2…P100，記mi=AP2i-BPi·PiC(i=1，2，…100)，則m1+m2+……+m100=______。

解：由定理2得AP2i-BPi·PiC=AB2=22=4，

即mi=4，故m1+m2+……+m100=＝4×100＝400。

例3：已知△ABC為等腰銳角三角形，AB＝AC，D為BC延長線上一點，使DA⊥AB。求證：BD2+BD·CD＝2AD2。

證明因為DA⊥AB，所以AD2+AB2＝BD2，……（1）

又由定理2得AD2－AB2＝BD·DC……（2）

由（1），（2）得BD2+BD·DC＝2AD2。

例4： 某船在B處以每小時8千米的速度向正東方向航行，1小時后到達C處，在B，C兩處均測得與燈塔A的距離為8千米。（1）問再經過2小時該船距A多少千米？（2）設該船從B處出發后某時刻所處的位置為P，若PB＝x，PA2＝y，求y關于x的函數解析式及x與y的取值范圍。

（2）①當P在線段BC上時，由定理1得AP2＝AB2－BP·PC，所以x的取值范圍是0

②當P在線段BC的延長線上時，由定理2得AP2＝AB2+BP·PC，所以y=82+x(x-8)，即y關于x的函數解析式是y=x2-8x+64。x的取值范圍是x>8，y的取值范圍是y>64。

綜合①，②，得y與x的函數關系式是y=x2-8x+64，x與y的取值范圍分別是x>0，y≥48。

由定理還可以得到關于直角三角形的兩個性質：

性質1在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC上任一點，那么AD2+2BD·DC+DB2＝AB2。

證明：延長BC到點E，使CE＝BC，連接AE（如圖2），則AE＝AB，由定理1得AB2＝AD2+DB·DE＝AD2+BD（2DC+BD）＝AD2+2BD·DC+BD2

性質2在RT△ABC中，∠C＝90°，D是邊CB延長張上任一點，那么AD2+BC2=DC+AB2。

證明：延長BC到點E，使CE＝BC，連接AE（如圖3），則AE＝AB，由定理2得AD2－AB2＝BD·DE＝（DC－BC）（DC+BC）＝DC2－BC2，所以AD2+BC2＝AB2+DC2。

參考文獻：

[1]洪方日，一個等腰三角形的性質及其應用中[J]，學數學

雜志，1999，（6）：16.

(臨海市外國語學校)