函數思想在解題中的應用

函數思想是指建立函數或構造函數，運用函數的圖像#65380;性質去分析問題. 解決問題的一種思想方法. 它在解題中應用非常廣泛，下面舉例說明如下:

1. 求范圍

例1 對于滿足0 ≤ p ≤ 4的所有實數p，不等式x2 + px > 4x + p - 3恒成立，求x的取值范圍.

分析 這是一個有關x的二次不等式恒成立問題，但若以x為主元考慮解題將非常復雜，而變換視角，將p為主元便可構建p的一次函數結構，使問題很容易得解.

解 構造函數 f(p) = (x - 1)p + x2 - 4x + 3.

依題知 f(p) > 0對0 ≤ p ≤ 4恒成立，

因此只要f(0) > 0f(4) > 0?圯x2 - 4x + 3 > 0x2 - 1 > 0?圯 x > 3或x < 1.

2. 比大小

例2 已知a > b > 0，m > 0，且A=+ ，B = +，C = +，則A，B，C的大小關系為.

分析 本題是三個數式比大小問題，從比差#65380;比商的基本思路入手將非常麻煩，觀察它們的結構特點易知均可看做同一個函數的數值，從而利用函數單調性可將問題迎刃而解.

解 構造函數 f(x) = x +，易知x∈(0，1)時f(x)是減函數. 而0 < < < < 1，

∴ f> f> f ，即A> B > C.

3. 解不等式

例3 解不等式:(x2 - 20x + 38)3 + 4(x2 - 20x + 38) < x3 + 4x.

分析 這是一個一元六次不等式，按常規思路(分解因式)很難形成解法，但注意其結構特征，可構造函數轉化得解.

解 設f(x) = x3 + 4x，可知f(x)在(-∞，+∞)上遞增.

∴原不等式等價于f(x2 - 20x + 38) < f(x)，

即x2 - 20x + 38 < x，解得2 < x < 19.

4. 證明不等式

例4 設a，b為正實數，且e< a < b，其中e為自然對數的底數，求證:ab > ba.

分析 從結論入手考慮，基本證法(比差#65380;比商)均不能證題，可將兩邊取以e為底的對數得:blna > alnb， 即>，然后構造函數便可證題了.

證明 設 f(x) =(x > e).

∵ f′(x) = < 0，

∴ f(x)在(e，+∞)上遞減.

∵ e < a < b，∴ f(a) > f(b)，

∴> ?圯 blna > alnb ?圯lnab > lnba ?圯 ab > ba.

5. 解答數列題

例5 若Sn為等差數列{an}前n項和，Sn = m，Sm = n，(m≠n)，求Sm+n.

分析 該題從數列知識出發，運用方程思想可以解題. 但如果從函數角度出發，充分挖掘數列的函數特征，利用函數思想求解可使我們耳目一新.

解 ∵ Sn =n2+ a1- n ?圯=n + a1 -，

∴點n， 共線，

∴點n， ，m， m + n， 三點共線，

∴ = ?圯 Sm+n = -(m + n).

6. 求系數和

例6 若(3x4 + 7x3 + 4x2 - 7x - 5)5#8226;(3x4 - 7x3 + 4x2 + 7x - 5)5 = a0 + a1x + a2x2 + … + a40x40，試求:a0 + a2 + a4 + … + a40的值.

分析 本題可以用賦值法求解，但利用它的函數特點求解可讓你賞心悅目.

解 設 f(x) = (3x4 + 7x3 + 4x2 - 7x - 5)5#8226;(3x4 - 7x3 + 4x2 + 7x - 5)5 = a0 + a1x + a2x2 + … + a40x40，則 f(x) = f(-x).

∴ f(x)為偶函數，∴a1 = a3 = a5 = … = a39 = 0，

∴ a0 + a2 + a4 + … + a40 = f(1) = (3 + 7 + 4 - 7 - 5)5 #8226;(3 - 7 + 4 + 7 - 5)5 = 1024.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”