一元二次方程的整數解解法初探

在數學課外活動中及各類數學競賽中，一元二次方程的整數解問題一直是個熱點，它將古老的整數理論與傳統的一元二次方程知識相結合，涉及面廣，解法靈活，綜合性強，備受關注. 下面分類探索解含參數的一元二次方程的整數解問題.

關于x的整系數方程ax2 + bx + c = 0(a≠0)中，系數含有參數而要求x的整數根問題的研究，要用到判別式#65380;求根公式#65380;根與系數關系，還要用到整數的有關性質.

一#65380;用根的判別式

方程ax2 + bx + c = 0(a≠0)有整數根時，Δ = b2 - 4ac必須是完全平方數，據此條件，可求出參數，但要代入原方程檢驗能否使x為整數.

例1 設m是整數，4 < m < 40，方程x2 - 2(2m - 3)#8226;x + 4m2 - 14m + 8 = 0有兩個整數根. 求m的值及方程的根.

解 由方程知Δ = 4(2m + 1)，則2m + 1必須是完全平方數.

因4 < m < 40，所以9 < 2m + 1 < 81，在9和81之間是奇數且又是完全平方數的只有25和49.故m = 12或m = 24，分別代入方程得x 的值分別為16，26與38，52.

說明 此題由4 < m < 40，求出m的值時，可直接利用Δ ≥ 0求出m的范圍，進而確定m的整數值.

二#65380;運用求根公式

例2 m是什么整數時，方程(m2 - 1)x2 - 6(3m - 1)x + 72 = 0有兩個不相等的正整數根.

解 首先，m2 - 1 ≠ 0，m ≠ ±1.Δ = 36(m - 3)2 > 0，所以m≠ 3.用求根公式可得:

x1 =，x2 =.

由于x1，x2是正整數，

所以m - 1 = 1，2，3，6，m + 1 = 11，2，3，4，6，12.

解得m = 2，這時x1 = 6，x2 = 4.

說明 一般來說，可以先把方程的根求出來(如果比較容易求的話)，然后利用整數的性質以及整除性理論，就比較容易求解問題，

三#65380;活用根與系數的關系

設ax2 + bx + c = 0(a≠0)的兩根為x1，x2，則x1 + x2 = - ，x1#8226;x2 =，當由Δ很難確定參數時，考慮用- 或的整數來求參數值.

例3 求使x的方程(a + 1)x2 - (a2 + 1)x + 2a3 - 6 = 0有整數根的所有整數a.

解 當a = -1時，方程有整數根x = -4;

當a ≠ -1時，設兩根為x1，x2，則

x1 + x2 = = a - 1 +，

顯然當a = 0，1，-2，-3時 是整數.

分別代入方程解得a = 0，1時才有整數根3，-2與2，-1.

說明 當二次項系數含有參數時，先討論其系數為0是否有整數根;再討論系數不為0的情況.而例5若用判別式，則Δ = -7a4 - 8a3 + 2a2 + 24a + 25就很難來確定 a的整數值.

四#65380;靈活地變換參數

當方程ax2 + bx + c = 0(a≠0)中，某參數的系數為一次時，可將ax2 + bx + c = 0(a≠0)變形，用x的代數式去表示某參數，根據參數，x均為整數，先求出x的值，再求參數的值.

例4 已知a是正整數，且使得關于x的一元二次方程ax2 + 2(2a - 1)x + 4(a - 3) = 0至少有一個整數根，求a的值.

解 將原方程變形為:(x + 2)2a = 2(x + 6).

顯然x + 2 ≠ 0，于是a =.

由于a是正整數，所以 a ≥ 1，即

a = ≥ 1，

所以x2 + 2x - 8 ≤ 0，(x + 4)(x - 2) ≤ 0，

所以 -4 ≤ x ≤ 2(x ≠ -2).

當 x = -4，-3，-1，0，1，2時，

得a的值為1，6，10，3， ，1.

所以a的值為1，3，6，10.

五#65380;合理的整數分解

當方程ax2 + bx + c = 0(a≠0)可表示為(x - a1)(x - a2) = N(a1，a2，N均是整數)形式時，我們可把N分解為N1，N2(N1，N2是整數)，再令

x - a1 = N1，x - a2 = N2或x - a1 = N2，x - a2 = N1.

所要注意的是把N的分解形式一一列出.

例5 方程x2 - (a + 8)x + 8a - 1 = 0有兩個整數根，試求整數a的值.

解 原方程變形為(x - a)(x - 8) = 1 = ±1 × (±1).

則有x - a = 1，x - 8 = 1或x - 1 = -1，x - 8 = -1.

這時x = 9或x = 7，解得a = 8.

六#65380;綜合分析

例6 已知關于x的方程x2 + (m + 1)x + 2m - 1 = 0的兩根為整數，求整數m的值.

解法一 因x2 + (m + 1)x + 2m - 1 = 0①

兩根為整數，則其判別式為完全平方式. 故可設

Δ = (m + 1)2 - 4(2m - 1) = k2(k為非負整數)，

即(m - 3)2 - k2 = 4.

∴ (m + k - 3)(m - k - 3) = 4.②

滿足②的m，k只能是下列情形之一:

m + k - 3 = 4，m - k - 3 = 1.m + k - 3 = -1，m - k - 3 = -4.

m + k - 3 = 2，m - k - 3 = 2.m + k - 3 = -2，m - k - 3 = -2.

解得m = 1或m = 5.

解法二 方程①有實根的條件是Δ ≥ 0，

即Δ = (m + 1)2 - 4(2m - 1) = (m - 1)(m - 5)≥ 0.

∴ m ≤ 1或 m ≥ 5.

設方程①的兩根為α，β(α ≤ β)，則

α + β =-(m + 1)，α#8226;β = 2m - 1.

消去m得2(α + β) + αβ = -3，即(α + 2)(β + 2)=1. 由于α，β為整數，

∴ α + 2 = 1，β + 2 = 1或α + 2 = -1，β + 2 = -1，

∴ α = β = -1 或α = β = -3.

于是得m = 1或m = 5.

總之，求一元二次方程的整數根的問題較復雜，但只要根據題目的特點，采用合理的解題方法，就能夠順利地解決.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”