淺談用數形結合的數學思想方法解題

【摘要】本文通過舉例，來說明用數形結合的思想方法分析解決問題，可以提高解題速度.

【關鍵詞】數與形的轉化;圖形;交點;距離;斜率

數形結合:以形注數，以數幫形，數具體，邏輯性強，形直觀，較易理解. 數與形相互幫助，使抽象的數學語言與直觀的圖形結合在一起. 運用數形結合的思想方法分析解決問題，可以提高解題速度.

例1 已知2x + 3y + 4 = 0，則x2 + y2 - 4x - 2y + 5的最小值為 .

分析 用代入法解，易想，但運算啰嗦;用數形結合解，要聯想，進行轉化. 先變形，讓式子有幾何意義. 轉化為點到直線距離的平方可解:

x2 + y2 - 4x - 2y + 5 = (x - 2)2 + (y - 1)2 =

[ ] ≥

2 =.

變式1 x2 + y2 - 4x - 2y + 10 =

[ ]2 + 5.

變式2 x2 + y2= [ ]2.

例2 已知α，β是方程x2 + ax + 2b = 0的兩根且α∈[0，1]，β∈[1，2]，a，b∈R，則 的最大值為 ，最小值為 .

分析 由 式子聯想到直線的斜率，再聯想到點的范圍，而點的范圍借助于二次函數根的分布可解.

解 ∵ α∈[0，1]，β∈[1，2]，

∴ f(0) ≥ 0，f(1) ≤ 0，f(2) ≥ 0，b ≥ 0，a + 2b + 1 ≤ 0，a + b + 2 ≥ 0.

(a，b)的平面區域為△ABC，

∴ k =∈ ， .

知識點:① 根的分布產生的范圍.

② 利用斜率k的幾何意義.

變形 求y = =，可以轉化為兩點的斜率的關系求解.

以后遇見:① ，②=，③= 的形式聯想到斜率的關系可以求解.

由上述例2知，用代入法解，不易想，用數形結合解，較簡單，但需轉化.

例3 函數f(x) =+ 的最小值為 .

分析 用代數的辦法不易解決，配方后可用距離和可解.

解 f(x) = +

≥=.

② 出現距離差求最大值，用點的對稱方法解決.

注 配方——距離——對稱——兩邊和大于第三邊. 例4 求函數y = x +的值域.

分析 常用三角換元解，較繁. 如果用數形結合解，就簡單點. 轉化為直線與半圓有公共點，求出直線的截距的范圍可解.

解法 令y = b，∴ -x + b =.

令f(x) = -x + b，g(x) =，

∴ b∈[-1， ]，

∴ y∈[-1， ].

變式 求下列函數的值域.

① y = -x +;

② y = x -.

總結 運用數形結合的思想方法分析解決問題時，需把代數問題進行變形#65380;轉化，利用函數圖像的交點或幾何圖形的距離#65380;斜率可解. 運用數形結合的思想方法分析解決問題，可以提高解題速度，但不易想.

運用數形結合的思想方法分析解決問題時，要把握三個原則:一是等價性原則，要注意由于圖形是粗略的#65380;大致的，有時會有負面效應. 二是雙向性原則，既進行幾何直觀分析，又要進行相應的代數抽象探索，僅對代數問題進行幾個分析容易失真;三是簡單性原則，不要為了“數形結合”而刻求，一定要考慮到是否可行#65380;有利.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”