關(guān)于冪指數(shù)求解的方法討論

【摘要】 本文系統(tǒng)地論述了冪指數(shù)求導(dǎo)求解的三種方法:對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，分解法，多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法. 根據(jù)冪指函數(shù)的解的結(jié)構(gòu)，有創(chuàng)新地提出了冪指函數(shù)分解法，并利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的內(nèi)容進(jìn)行了論證和說(shuō)明.

【關(guān)鍵詞】 冪指函數(shù);對(duì)數(shù)求導(dǎo)法;冪指函數(shù)分解法;偏導(dǎo)數(shù)求解法;樹(shù)狀圖

一#65380;引 言

在大學(xué)課本里，通常看到的冪指函數(shù)求解都是在對(duì)數(shù)求導(dǎo)法一節(jié)有所涉及，遇到了冪指函數(shù)求解就只能應(yīng)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法. 很多同學(xué)在做題的時(shí)候記不得如何使用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，以至于無(wú)法做對(duì)，本文系統(tǒng)地論述了冪指數(shù)求解的幾種方法，使得求解冪指函數(shù)問(wèn)題求解的方法多樣化，大大降低了做題的難度.

二#65380;求解冪指函數(shù)

冪指函數(shù)是指底數(shù)指數(shù)都會(huì)有自變量的表達(dá)式的函數(shù)，它的形式為y=f(x)g(x)，其中f(x)，g(x)必須為含有x的函數(shù).

對(duì)于這種函數(shù)，它不屬于初等函數(shù)，所以利用傳統(tǒng)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則無(wú)法直接求導(dǎo). 所以需要一種新的方法進(jìn)行求解. 我們通常見(jiàn)到的是對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，即

1. 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

若冪指數(shù)函數(shù)可導(dǎo)，則在求解其函數(shù)的時(shí)候，最常用的方法為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，即

y=f(x)g(x)，lny = lnf(x)，lny = g(x)ln(x).

兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得:

= g(x)lnf(x) + g(x) . (1)

y′ = y(g′(x))lnf(x) + y .

下面的問(wèn)題就是求解g′(x)與f′(x):

列如y = xx，∵ x′= 1，

∴ 代入①中很容易可以得到y(tǒng)′ = xx(lnx + 1).

但這種方法的缺點(diǎn)是:① y > 0，不然無(wú)法取對(duì)數(shù)，這個(gè)在原題中很難發(fā)現(xiàn)并證明;②方法難記，需要根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)使用，一般情況下用不到或者不能用，很多人記不住. 所以冪指函數(shù)的問(wèn)題在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中非常困難. 除了采用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，還有沒(méi)有其他方法呢?

2. 分解法

我們來(lái)分析一下，冪指函數(shù)求導(dǎo)的結(jié)果.

對(duì)于f(x)g(x)， 如果我們把它看成一個(gè)冪函數(shù)，即把函數(shù)f(x)看成一個(gè)與x無(wú)關(guān)的常數(shù)，對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)為u(x) = yg′(x)lnf(x). 如果把它看成一個(gè)指數(shù)函數(shù)，即把g(x)看成一個(gè)與x無(wú)關(guān)的常數(shù)，對(duì)x求導(dǎo)，可得u(x) = g(x)f(x)g(x)-1f′(x).

如果我們將這兩個(gè)導(dǎo)數(shù)(u(x)，v(x))加在一起，恰好為該冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即y′ = u(x) + v(x).

也就是說(shuō)，對(duì)于冪指函數(shù)，我們可以先把它看成冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)的問(wèn)題來(lái)求解，最后將兩個(gè)導(dǎo)數(shù)加在一起，就可以得到該冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)了.

這種方法姑且稱之為分解法. 這種方式看起來(lái)跟硬湊結(jié)果好像差不多，到底它有沒(méi)有理論根據(jù)呢?這也就是第三種方法——偏導(dǎo)數(shù)求解法.

3. 偏導(dǎo)數(shù)求解法

對(duì)于偏函數(shù)y=f(x)g(x)，利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法.

令f(x) = u，g(x) = u，

則該函數(shù)也就化成了一個(gè)二元函數(shù):

y = uv.(2)

現(xiàn)在我們來(lái)求解 ，利用樹(shù)狀圖分析

(3)

可得:=#8226; + #8226; .

因此，不難得出②和③式可以分別看成u，v的求導(dǎo)兩個(gè)中間變量. 實(shí)際上我們可以看出:分解法實(shí)際上就是偏導(dǎo)數(shù)求解法的變異和簡(jiǎn)化. 它的理論根據(jù)就是把冪指函數(shù)利用偏導(dǎo)數(shù)求解的方法進(jìn)行求解.

為了方便理解，舉一個(gè)冪指函數(shù)求導(dǎo)的例子.

例 求解y = xx-1的導(dǎo)數(shù).

解一(對(duì)數(shù)求導(dǎo)法):

lny = (x-1)ln x.

兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得

= lnx + .

y′ = y(lnx +)= xx-1(lnx +).

解二(分解法):

u(x) = xx-1ln x，v(x) = (x - 1)xx-2，

∴ y′ = u(x) + v(x) = xx-1lnx + (x-1)xx-2.

三#65380;結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)上面的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，可以有多種方法來(lái)求解冪指函數(shù)問(wèn)題，在這里我舉出了三種. 本文主要?dú)w納整理了冪指函數(shù)的求解，并創(chuàng)新性地給出了分解法以及偏導(dǎo)數(shù)求解法. 其中分解法使用起來(lái)非常簡(jiǎn)潔，與前面的冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)內(nèi)容相符合，具有很強(qiáng)的連貫性，使得它更加容易被人接受.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文#65377;”