均值不等式求最值的常見誤區探究

利用均值不等式求最值是最值法中常用而且非常重要的一種方法，但在解題時易入誤區. 下面就常見的幾個誤區加以剖析，希望對同學們有幫助.

誤區一 忽略各項為正數的條件

例1 已知0 < x < 1，求函數y = 2 + log x +的最值.

錯解 ∵ y = 2 + log x + ≥ 2 + 2= 2 + 2 ，

∴ 函數y= 2 + 2 .

辨析 ∵ 0 < x < 1，∴ log x < 0，< 0，不能直接利用均值不等式定理求最值.

正解 ∵ 0 < x < 1，3 > 1，∴ -log x > 0，-> 0.

∴ (-log x) + -≥ 2 ，

即 -log x + ≥ 2 ，

∴ log x + ≤ -2 ，

∴ y = 2 + log3x + ≤ 2 - 2 (當且僅當log3x =時，即x =時取等號).

∴ ymax = 2-2 .

誤區二 忽視積或和為常數的條件

例2 設x + 2y = 1，x，y是整數，求x2y的最值.

錯解 x2y ≤3= 3= (當x = y時取等號)，由x + 2y = 1及x = y得x = y =，∴ x2y的最大值為 .

辨析 以上過程只能說明當x = y =時x2y =，但沒有說明x2y ≤，這種錯誤是因為在運用均值不等式放縮后的式子不是定值(常數)，以至得到錯誤的結果.

正解 ∵ x2y =(x #8226; x #8226; 4y)≤3= [ ]3 =，當且x = 4y時又x + 2y = 1，即x =，y =時取得等號，∴(x2y)max =.

誤區三 忽視等號成立的條件

例3 已知0 < x ≤，求函數y = sinx +的最小值.

誤解 ∵ 0 < x ≤，

∴ y = sinx + ≥ = 2 .

∴ y= 2 .

辨析 若sinx =，則sinx2 = 5，即sinx = ± ，這是不可能的. 本例也啟示我們在利用均值不等式時，一方面要考慮等號，另一方面要考慮三角函數的有界性，使等號成立的條件與三角函數有界性保持一致.

正解一 y = sinx + = sinx + +.

∵ 0 < x ≤，

∴ 0 < sinx ≤ 1，∴ sinx + ≥ 2(當且僅當sinx =時，即sinx = 1時，即x =時，取得等號成立).

∴ ≥ 4(當且僅當sinx = 1，即x =時，取得等號成立)，

∴ y = sinx + ≥ 6(當且僅當x =時，取得等號成立)，

∴ ymin = 6.

正解二 ∵ 0 < x ≤，∴ 0 < sinx ≤ 1.

設t = sinx，

∴原函數可變為:y = t +，其中0 < t ≤ 1.

設0 < t< t≤ 1，

∴ y- y= t+ - t+ =

(t- t )1 -.

∵ 0 < t< t≤ 1，∴ t- t< 0，且≥ 1，≥ 1，

∴ ≥ 1，≥ 5，∴ (t- t )1 - > 0，

∴函數y = t +(0 < t ≤ 1)是減函數，當t = 1時，y= 6，

∴ y = sinx +(0 < x ≤)的最小值為6.

點評 利用均值不等式的有關定理求最值時，要把握定理成立的三個條件，就是“一正——各項都是正數;二定——積是定值:三相等——等號能否取得”. 在具體操作時，若忽視了某個條件，就會出現各種似是而非的錯誤.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”