差項求和的模式分析

數學是研究空間形式和數量關系的科學，也是研究模式和秩序的科學.著名數學家徐利治先生指出，“無論數學中的概念和命題，或是問題和方法，事實上都應該被看成是一種具有普遍意義的模式”.因此，從某種意義上來講，學生的數學學習過程，就是學習如何抽象概括，學習研究模式如何形成的過程.人們在解題的過程中總結了許多行之有效的方法，這些方法有其內在的規律，對這些規律進行研究，抽象出形式結構即模式，對誘導思維，啟迪智慧，提高分析問題和解決問題的能力十分有益.本文試就數列求和的重要方法——差項求和，提供一個模式分析的案例.

1. 模式的探求

若數列{an}是等差數列且公差為d，則有an-an-1 = d(n ≥ 2，n∈N+)，由此可以得到 (an - an-1) = (n - 1)d.(1)

整理得:an = a1 + (n - 1)d即為等差數列的通項公式.由于求解的關鍵(1)式左端是差的求和式.所以，這種推導通項公式的方法叫差項求和.若對其進一步抽象并用符號表示，就能對差項求和有更深一層的理解.

令bn = an+1 - an，n∈N+，顯然數列{bn}的前n項和Sn是可求的.

即Sn =bn =(ak+1 - ak) = an+1 - a1，得到:

結論一 設數列{bn}的前n 項和為Sn，若bn = an + 1 - an，則Sn = an+1 - a1.

結論二 設數列{bn}的前n 項和為Sn，若bn = an - cn且數列{an}#65380;{cn} 的前n項和分別為s ，s ，則Sn = s- s .

至此，我們抽象出兩個基本的數學模式，差項求和的應用前景也凸顯出來了.

2. 模式的應用

反思以上過程，我們發現，差項求和法有兩點基本應用:①求數列的通項公式.②求數列的前n項和，而應用的關鍵是構造差式.

例 1 問是否存在常數a，b，c使得等式1 × 22 + 2 × 23 + …+ n(n + 1)2 =對一切正整數n都成立.并證明你的結論.

分析 觀察題形結構特點有多種思路可選擇.

思路1 賦于n特殊值1，2，3求出a，b，c，然后用數學歸納法證明.

思路2 從左端通項an = n(n + 1)2 = n3 + 2n2 = n入手并應用以下結論:

13 + 23 + … + n3 =2;

13 + 23 + … + n3 =，1 + 2 + … + n =.

以上兩種思路都可使問題得到解決.若用差項求和模式求解，將an = n(n + 1)2恰當分裂為兩項的差是變形的難點.注意到an = n(n + 1)2 = n(n + 1)(n + 1)，而n與n + 1是連續正整數，于是有了將另一個因式變為n + 1化為(n + 2) - 1形式的想法.

an = n(n + 1)(n + 2) - n(n + 1) = 3!C- 2!C.

證明 左端 = 1 × 22 + 2 × 23 + …+ n(n+1)2 =

3!(C + C+ … + C) - 2!(C + C+ … + C) =

6C - 2C =.

故存在a = 3，b = 11，c = 10 使等式成立，從而問題得解.

變式1 求和s = 1 × 2 × 3 ×… #8226;k2 + 2 × 3 × 4 ×…#8226; (k + 1)2 + … + n(n + 1) #8226;…#8226; (n + k - 1)2 .

思路1 思路2難以施行，而差項求和法的妙用彰顯出來.

仿上得:an = (k+1)!C - k!C，于是有

s = (k + 1)!C - k!C.

變式2 求和s = 1 × 2 × 3 ×… #8226;2k + 2 × 3 × 4 ×…#8226; (k + 1) + … + n(n + 1) #8226;…#8226;(n + k - 1).

觀察發現，和式中各項都是k個自然數連乘積的形式，而任意相鄰兩項中都含有k - 1個相同的因數，從這一特點入手是解決問題的一個很好的切入點.

若令ai = i(i + 1)#8226;…#8226;(i + k - 1)變形得到:

ai = [iai+1 - (i + k - 1)ai-1] =[i(i + 1)#8226;…#8226;(i + k) - (i - 1)i#8226;…#8226;(i + k - 1)].

于是s =ai = [i(i + 1)#8226;…#8226;(i + k) - (i - 1)i#8226;…#8226;(i + k - 1)] = = k!C. 對例1左端一般化或簡單變化，得到兩個相關命題，它是數學求解過程中值得重視的學習方法，對發現問題#65380;提出問題#65380;解決問題思想意識的培養十分有益.

3. 模式的延伸拓展

裴波那契數列產生于以下原型.

若每對成年兔子一個月可以生一對兔子，并且兔子在出生兩個月后就具有生殖后代的能力.問從一對小兔子開始，一年后可以繁殖多少對兔子? 歸結為:

例 2 已知:數列{an}中，a1 = a2 = 1，an = an-1 + an-2(n∈N+，n≥3)，求數列{an}的通項公式.

設想應用待定系數法，構造差式轉化為較熟悉的差項求和法來解決.

解 設an - xan-1 = y(an-1 - xan-2).(1)

則x + y = 1，xy = -1.∴x =，y =或x =，y =.

取x，y的前一組值代入(1)得:

an -an-1 = an-1 -an-2(n≥3，n∈N+).

顯然，數列an -an-1(n≥2，n∈N)是首項為a2 -a1=，公比為 的等比數列. ∴ an -an-1 =n-1. (2)

(2)式左端雖是差，但難以直接利用求和來求出其通項公式.影響求和的關鍵是an-1的系數為-.若取n = 2，3，4，5等系列值，觀察發現對(2)式兩邊同時乘以- n-2，然后求和并整理得:

(-1)n-2 #8226; n-2 an =

2 - (-1)n-2#8226; 2n-2.

∴an = n -n(n∈N+). 這樣，我們創造性地應用“差項求和”的解題模式，使問題得以順利解決.但其求解過程顯得繁瑣，x，y的值只應用了一組.若另一組值也加以應用能否簡化運算呢?將后一組x，y的值代入(1) 易得:

an -an-1 =n-1.(3)

由(2)與(3)消去an得:

an-1 =n-1-n-1.

∴ an-1 = n-1 -n-1(n≥2，n∈N).

故an = n -n (n∈N+).

顯然，后一種方法相對于前一種方法要簡捷得多.

觀察:an = an-1 + an-2(n≥3，n∈N+)與an - xan-1 = y(an-1 - xan-2).

對形如an = Aan-1 + Ban-2(A，B≠0a1 = a，a2 = b)的遞推公式，要求其通項公式，利用待定系數法轉化為差項求和模式是一個很好的選擇.

而對an -an-1 =n-1的一般化，則有對形如:an = can-1 + f(n) (c≠0)，a1 = a(n≥2，n∈N+). 其中{f(n)}為等差或等比數列，由遞推公式求其通項公式，應用差項求和法或待定系數法，也是可供借鑒的思路.

數學是一門有生命的學科，它尋求遍及我們周圍物質世界以及我們思想中的各種模式并研究這些模式.在數學的學習過程中人們總結出了許多方法，這些方法常常以冰冷的面目呈現出來，而對方法模式化的火熱思考過程才是啟迪思維#65380;誘導智慧的精華所在.差項求和的模式研究充分說明了這一點.

【參考文獻】

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注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”