變式教學中應注意的幾個問題

“變式”主要是指對例題#65380;習題進行變通推廣，重新認識.恰當合理的變式能營造一種生動活潑#65380;寬松自由的氛圍，既開闊學生的視野，激發學生的情趣，又有助于培養學生的探索精神和創新意識，并能使學生舉一反三#65380;事半功倍.筆者在教學實踐中發現，有些教師對變式的“度”把握不準確，不能因材施教，單純地為了變式而變式，給學生造成了過重的學習和心理負擔，使學生產生了逆反心理，“高投入#65380;低產出”，事倍而功半.下面結合具體實例，就變式要注意的幾個問題談幾點個人的看法.

一#65380;變式要在原例習題的基礎上進行，要自然流暢，不能“拉郎配”，要有利于學生通過引申題目的解答，加深對所學知識的理解和掌握

如在學習均值不等式“a，b∈R+，≥ ab(當且僅當a = b時取“=”號)”的應用時，給出了如下的例題及變式:

例1 已知x > 0，求y = x +的最小值.

變式1 當x < 0時，求y = x +的最小值.

變式2 當x ≥ 2時，求y = x +的最小值.

變式3 當x ≥時x2 + 1的最小值是1嗎?

變式提升:

1. x∈R時，函數y = x +有最小值嗎?為什么? 討論x ≠ 0時，y = x +的最值情況.

2. 已知x ≥ 3，求x +的最小值;

3. 求y = 2 + 3x +的最小值(其中x > 1).

4. 求y = x(1 - 2x)的最大值(其中0 < x <).

由該例題及三個變式及三個變式提升的解答，使學生加深了對定理成立的三個條件“一正#65380;二定#65380;三相等”的理解與掌握，為定理的正確使用及綜合使用打下了較堅實的基礎.

變式要限制在學生思維水平的“最近發展區”上，變式題目的解決要在學生已有的認知基礎之上，并且要結合教學的內容#65380;目的和要求，要有助于學生對本節課內容的掌握.

如在練習定理“a，b∈R+，≥ ab(當且僅當a = b時取“=”號)”的應用時，把變式3改為:當x ≥時，求x2 + 1的最小值，則顯得有些不妥.因為本節課的重點是讓學生熟悉不等式的應用，而解答變式3不但要指出函數的最小值不是1，而且還要借助于函數的單調性求出最小值，這樣本堂課就要用不少時間去證明單調性，“干擾”了“不等式應用”這一“主干”知識的傳授，但若作為課后思考題讓學生去討論，則將是一種較好的設計.

二#65380;變式要有梯度，循序漸進，切不可搞“一步到位”，否則會使學生產生畏難情緒，影響問題的解決，降低學習的效率

如在利用數學歸納法證明幾何問題時，課本給出了習題:平面內有n(n ≥ 2)條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，證明交點的個數為f(n) =. 在證明的過程中，引導學生注意觀察f(k)與f(k + 1)的關系有f(k + 1) - f(k) = k，從而給出:

變式1平面內有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，求這n條直線共有幾個交點?

此變式自然恰當，變證明為探索，使學生在探索f(x)或f(k + 1)的關系的過程中得到了答案，而且鞏固加深了對數學歸納法證明幾何命題的一般方法的理解和掌握. 類似地還可以給出:

變式2 平面內有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，該n條直線把平面分成f(n)個區域，則f(n + 1) = f(n) + _________.

變式3 平面內有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，該n條直線把平面分成f(n)個區域，求f(n).

上述變式3在變式1與變式2的基礎上很容易掌握，但若沒有變式1與變式2而直接給出變式3，學生解決起來就非常困難，對樹立學生的學習信心是不利的，從而也降低了學習的效率.

三#65380;提倡讓學生參與題目的變式

變式并不是教師的“專利”，教師必須轉變觀念，發揚教學民主，師生雙方密切配合，交流互動，只要是學生能夠變式的，教師絕不包辦代替.學生變式有困難的，可在教師的點撥與啟發下完成，這樣可以調動學生學習的積極性，提高學生參與創新的意識.如在學習向量的加法與減法時，有這樣一個習題:

已知向量a，b，求作向量c，使得a + b + c = 0. 表示 a，b，c 的有向線段能構成三角形嗎?

在引導學生給出解答后，教師提出如下思考:

① 你能用文字敘述該題嗎? 通過討論，暢所欲言#65380;補充完善，會有

變式1 如果三個向量首尾連接可以構成三角形，且這三個向量的方向順序一致(順時針或逆時針)，則這三個向量的代數和為零向量.

② 大家再討論一下，這個結論是否只對三角形適合? 通過討論學生首先想到對四邊形適合，從而有

變式2 a + b + c + d= 0.

③ 大家再想一想或動筆畫一畫滿足變式2的這四個向量是否一定可構成四邊形? 在教師的啟發下不難得到結論:四個向量首尾相連不論是否可形成四邊形，只要它們的方向順序一致，則這四個向量的代數和就是零向量.

④ 進一步啟發，學生自己就可得出n條封閉折線的一個性質:

變式3 a + b + c + d + … + m + n = 0.

最后再讓學生思考若把a + b + c = 0改為任意的三個向量a + b + c = 0，則這三個向量是否還可以構成三角形?學生很容易得出答案.至此，學生大腦中原有的認知結構被激活，學生的求知欲被喚起，形成了教師樂教#65380;學生樂學的良好局面.

四#65380;變式題目的數量要有“度”

變式過多，不但會造成題海，會增加無效勞動和加重學生的負擔，而且還會使學生產生逆反心理，對解題產生厭煩情緒.筆者在一次聽課時，有位青年教師對一道例題連續給出了10個變式，而且在難度上逐漸加大，最后變式的題目與例題無論在內容上還是在解題方法上都相關不大，這樣的變式不僅對學生學習本節課內容沒有幫助，而且超出了學生的接受能力，教學效果也就會大打折扣.

綜上所述，變式教學中習題的變式方式#65380;形式及內容，要根據教材的內容和學生的情況來安排，因材施教是課堂教學永遠要堅持的原則. 恰當合理的變式，可使學生一題多解和多題一解，有助于學生把知識學活;有助于學生舉一反三#65380;觸類旁通;有助于學生產生學習的“最佳動機”和激發學生的靈感，它能升華學生的思維，培養學生的創新意識.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”