換一種眼光——錯誤也精彩

新課程呼喚“平等”#65380;“民主”#65380;“合作”#65380;“師生共同成長”，請讓我們試著將視線投向這么兩個字——“錯誤”. 眾所周知，新課程還在初步實施過程中，尚存在許多問題，讓我們用辯證的目光去看待錯誤.

學生在學習時出現錯誤是難免的，然而對待學生的錯誤老師們反映各不相同，有的視為洪水猛獸，唯恐避之不及;有的“快刀斬亂麻”，以一個“錯”字堵上學生的嘴，接二連三提問學生，直至得出“正確答案”;還有的親自“上陣”，把答案“雙手奉上”. 或“堵”或“送”，都是置學生的實際于不顧. 如果不撥“亂”反“正”，不讓學生經歷實踐獲得體驗，表面上阻住了學生邁向“錯”的腳步，實際卻阻斷了他們邁向成功的道路. 其實，學生的一些錯誤回答很可能蘊涵著一些創新的火花，如果我們教師能尊重學生的思維成果，適時地對學生在探索中出現的“閃光點”進行鼓勵，巧妙利用學生的差錯，就能讓我們的教學產生意想不到的效果.

一#65380;正視錯誤，提升自我

允許學生出錯誤，就是鼓勵學生享有自由的思維#65380;大膽的品質#65380;潛心的體悟. 教師可以通過錯誤引領學生走進探究的世界. 學生有了充分思考的過程，才會引發智慧，培養興趣，提升自我.

本人在教學“求平均數”時，曾和學生一起做過這樣一道題目:有奶糖4千克，每千克4.5元，水果糖7千克，每千克3.5元，芝麻糖9千克，每千克6.7元. 將這些糖混合成什錦糖，這種什錦糖平均每千克多少元?

練習時，我讓學生審題后進行單獨列式. 在巡視了學生的列式后，我把個別學生中出現的這個式子板書到黑板上:(4.5 + 3.5 + 6.7) ÷ (4 + 7 + 9). 然后請學生說說自己的看法和意見. 在討論中，大家都認為:求什錦糖的平均價錢應該用“什錦糖的總價 ÷ 什錦糖的總數量”，前面部分用三種糖的單價相加并沒有求出什錦糖的總價，認為算式應該改為:(4.5 × 4 + 3.5 × 7 + 6.7 × 9) ÷ (4 + 7 + 9). 在這個過程中學生領悟到求平均數時總數與份數應該是相對應的.

可有一名學生提出算式可不可以這樣列:(4.5 + 3.5 + 6.7) ÷ 3. 這樣的列式在學生看來似乎總數與份數已經對應，有道理，但他們忽略了數量在其中的作用. 該怎樣讓學生明白其中的錯誤原因并解決這個錯誤呢?思考片刻后，我問:“你們認為這個算式有道理嗎?”學生齊聲回答:“有道理. ”“有道理就屬于一題多解，方法不同，但結果應該一樣，大家可以去檢驗一下. ”我順勢啟發說.

這時，學生的錯誤成了他們學習的探究性資源. 經過計算，他們發現兩種方法的結果并不一樣.

方法一:(4.5 + 3.5 + 6.7) ÷ 3 = 14.7 ÷ 3 = 4.9(元).

方法二:(4.5 × 4 + 3.5 × 7 + 6.7 × 9) ÷ (4 + 7 + 9) = (18 + 24.5 + 60.3) ÷ 20 = 102.8 ÷ 20 = 5.14(元).

面對兩個不同的結果，問題出在哪里呢?學生愣住了，我也跟他們一樣表示很驚訝，給他們留下了一個大大的思維空間. 此時的課堂出現了這樣的情景:有的學生表示不相信，又進行了一遍驗算;有的打開書本試圖到書上尋找答案;也有的出于探究的本能，同桌之間開始竊竊私語. 為了尊重學生的個性，我提議他們可以離開位置找好朋友商議. 于是他們主動地三三兩兩湊在一起.

過了一會兒，有個別組的同學好像有了一點發現.

學習小組A匯報說:“老師，我們覺得方法一可能不對，因為這里的奶糖有4千克，而芝麻糖卻有9千克，數量相差這么多怎么就不管了呢?”

從這組同學的發言中我們可以捕捉到一個信息:他們憑直覺已經發現方法一對三種糖數量的忽略是不對的.

“能用什么方法證明你們的發現嗎?拿出更有力#65380;更讓人信服的理由或數據. ”我依舊不露痕跡地啟發著. 過了一會兒，學習小組B的同學來匯報他們的發現了:“我們可以用這種方法來說明方法一是錯誤的. 比如說，有奶糖不是4千克，而是10千克，每千克4.5元;水果糖不是7千克，而是20千克，每千克3.5元;芝麻糖不是9千克，而是20千克，每千克6.7元，這些糖混合成什錦糖，這種什錦糖平均每千克多少元?用兩種方法進行了計算，結果是:

方法三:(4.5 + 3.5 + 6.7) ÷ 3 = 14.7 ÷ 3 = 4.9(元).

方法四:(4.5 × 10 + 3.5 × 20 + 6.7 × 20) ÷ (10 + 20 + 20) = (45 + 70 + 134) ÷ 50 = 249 ÷ 50 = 4.98(元).

用方法三做的結果和原來方法一的結果一樣，用方法四做的結果和原來方法二的結果就不一樣了.”

在這組同學拋磚引玉的作用下，其他同學也紛紛嘗試著編題#65380;解題，結果也有了同樣的發現.

“這樣的現象又能說明什么呢?”我裝糊涂就裝到底了.

學生甲說:貴的糖放得多，什錦糖的價錢肯定要貴一點的;便宜的糖放得多，什錦糖的價錢肯定就便宜一點，不可能都是一樣的價錢. 方法一與方法三的結果始終是一樣的，這當然是不可能的.

學生乙說:要是不管各種糖的數量，那不是商店只要放一點點貴的糖就可以提高什錦糖的價錢了.

是啊，生活經驗告訴他們，拿來混的糖不一樣，價錢是不可能完全一樣的. 因此，他們認為:方法一用來解題的只有每種糖的價錢，不管每種糖數量的多少，這是不正確的.

經過大家的努力，終于明白了什錦糖的平均價錢是要隨著水果糖#65380;奶糖#65380;芝麻糖的數量的變化而變化的. 這時我就適時地告訴他們，像方法一這樣解答出來的結果，稱為“價錢的平均”，而方法二計算出來的結果才是“平均價格”. 所以，我們在計算其他平均數的問題時，也要注意是“**的平均”還是“平均**”.

由此可見，教師把學生的錯誤看做學生的寶貴資源，因勢利導，在糾正錯誤的過程中充分尊重學生的理性思考，蹲下身來與學生平等對話，引發學生暢談自己真實的感受. 放手讓學生思考#65380;比較#65380;分析，互相分享學習體會，從而實現對新的數學知識#65380;數學思想方法的意義建構. 不僅使學生明辨是非，加深對概念或公式的理解，而且能給學生以鼓勵，激發學生認識錯誤，糾正錯誤的思維積極性，真可謂一舉兩得!

二#65380;巧用錯誤，激疑促思

心理學家蓋耶說過，“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富有成效的學習時刻”. 學生在認識過程中，總會出現這樣或那樣的錯誤，這是學習過程中的正常現象. 教師要留心捕捉和篩選學生在學習活動中反饋出來的有利于促進學生進一步發展的錯誤資源，據此來調整教學行為. 針對學生的作業和練習中出現的問題，教師要有意識地讓學生去剖析，以錯引正，正本清源. 在教學過程中的某些環節，教師可以巧妙設計一些“陷阱”，誘使學生失誤出錯，再利用這些契機實現既定的目標，往往能收到意想不到的教學效果.

如我在教學“圓錐體的體積”時，我讓學生分組做試驗:在空圓錐容器里裝滿沙子，然后倒入空圓柱體容器中，看看幾次正好裝滿. 各個小組分頭操作，之后交流圓柱體和圓錐體兩者之間的關系.

生1:我們在空圓錐容器里裝滿沙子，然后倒入空圓柱容器中，三次正好倒滿，說明圓錐的體積是圓柱體積的三分之一.

生2:三次倒滿，圓錐的體積是圓柱的三分之一.

生3:(有些遲疑)我們將空圓錐容器里裝滿沙子，然后倒入空圓柱容器中，四次正好裝滿. 我們認為圓錐的體積是圓柱體積的四分之一.

生1:是三分之一，不是四分之一.

生4:我們在空圓錐容器里裝滿沙子，倒入空圓柱容器中，不到三次就將圓柱容器裝滿了.

……

師:答案怎么會各不相同呢?老師也來試一試吧，你們可要仔細觀察啊!(在圓錐容器里裝滿沙子，倒入空圓柱容器里，一次#65380;再一次，兩次正好裝滿. )圓錐的體積是圓柱體積的二分之一，怎么回事呢?難道書上的結論是錯誤的嗎?

(學生紛紛議論起來)

生5:老師，你取的圓柱容器太大了. 我推薦您用我這個空圓柱容器. (結果三次正好倒滿)

學生恍然大悟，原來老師制造了一個小小的錯誤，故意選用了一個大的圓柱容器. 只有在等底等高的情況下，圓錐的體積才是圓柱體積的三分之一.

對于“等底等高”，學生往往會出現錯誤的理解，我們可以巧妙地利用錯誤，讓學生“吃一塹，長一智”，有時反面的教訓比正面的經念要深刻得多. 只有歷經風雨，才能看見美麗的彩虹，這必將提高學生對錯誤的判斷能力，使其記憶久遠，甚至終身難忘. 可以說“巧用錯誤”不僅是教師教學能力的表現，更是一種現代教育觀念的體現.

三#65380;誘導錯誤，歸納梳理

教師人為地設置一些“陷阱”，甚至誘導學生“犯錯”，再引導學生自我從錯誤的迷茫中走出來，能喚醒學生的質疑精神和探究欲望.

例如:學習“能被2，5，3整除的數”，學完能被2，5整除的數的特征后，請同學們猜想能被3整除的數的特征，學生都認為“個位上是3，6，9的數都能被3整除”. 等他們舉實例驗證時發現錯誤，探究的積極性更高了，學得也更扎實.

再如:“一塊長方形鐵皮，長16厘米，寬8厘米，如果用它剪直徑2厘米的圓片，最多可以剪多少個?”學生根據以往的經驗，往往用大面積去除以每塊的小面積，即16 × 8 ÷ [3.14 × (2 ÷ 2)2] ≈ 41(片). 思考討論，得出應該用“去尾法”，即40片. 然而，本題卻根本不能用這種方法去解答!于是，我讓學生畫草圖，一個個豁然開朗:原來正確的解法是(16 ÷ 2) × (8 ÷ 2) = 32(片)，根本不可能剪出40片. 進而有學生想到用16 × 8 ÷ (2 × 2) = 32(片).

若教師在教學中扶得太多，放得太少，學生在學習中小心翼翼，亦步亦趨，經歷的挫折少了，解決問題淺嘗輒止，也就不會產生自己獨到的見解. 我們在教學中應該適當地為學生創造一些機會，讓學生認認真真地錯一回，讓學生在摔打中學會對數學問題作深入的思考.當學生在課堂上出現錯誤或產生問題時，教師要有容錯的氣度，蹲下身來，從學生的視角看待這些錯誤，讓學生坦誠自己的想法，耐心傾聽他們的表述，不輕易否定學生的答案，尊重學生的思維成果，與學生一起經歷挫折，不斷鼓勵，讓每名學生都能自始至終情緒高昂地參與整個學習過程，感受學習的快樂.

錯誤本身就是一個渾然天成#65380;歷久不衰的對話課題. 偶然的錯誤中也許蘊藏著無窮的良機和學生智慧的火花. 我們應該樹立強烈的資源意識，珍惜錯誤資源，用好錯誤資源，善于捕捉錯誤中的思維亮點，引起學生的思維共鳴，使學生的思維上升到一定的高度，形成一定的認知策略，為學生的可持續發展奠定基礎. 對于“錯誤”帶來的教學機遇，每位教師肯定會遇到，不同的處理方法所得到的教學效果是完全不同的. 讓我們擦亮自己智慧的眼睛，及時抓取，細心呵護，用心挖掘，善待每一名學生的差錯;讓我們的數學課堂因“錯誤”而精彩，為教學添上一道亮麗的風景線.