集合中的數學思想

數學思想是從數學內容中提煉出來的數學知識的精髓，是將知識轉化為能力的橋梁，有著普遍應用的意義， 近幾年的高考數學試題，越來越注重對數學思想的考查。在集合的學習過程中也經常用到數學思想，現舉兩例以透視集合中的數學思想。

一、 等價轉化思想

在解集合問題時，當從已知集合的表達式不好入手時，可將其先等價轉化為另一種形式，通過轉化，給定的條件才能有效利用。

例1. 已知M=｛（x，y)|y=x+a} ，N={(x，y)|x2+y2=2 } ，求使得M ∩N＝?覫 成立的實數a的取值范圍。

解：M ∩N＝?覫 等價于方程組y=x+a，x2+y2=2，無解

把y＝x＋a代入方程x2＋y2=2中，消去y，得2x2＋2ax＋a2－2＝0(?鄢)

問題又轉化為一元二次方程 (?鄢)無實根，即△=4a2－8(a2－2)＜0，由引解得a＞2或a＜－2。

故所求實數a的取值范圍是（－∞，－2）∪（2，＋∞）

二、 分類討論思想

在解集合題時，由于空集的特殊性，經常需要分類討論。分類討論的思想就是整體問題化為部分問題來解決，它是邏輯劃分思想在解數學題中的具體運用。

例2 . 設集合A={x|x2+4X=0，x∈R} ，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，a∈R，x∈R} ，若B?哿 A，求實數a的取值范圍。

解：∵A={0，-4} ，∴B?哿 A分以下兩種情況討論

（1）B＝?覫 時，△=4(a+1)2－4(a2－1) ＜0，解得a＜－1；

（2）B≠?覫 時，又分以下兩種情況討論：

①B＝{0} 或B={-4}并且，△=4(a+1)2－4(a2－1) ＝0，解得a＝－1，此時B＝{0} 滿足題意。

②B={0，-4} ，由此知：0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的兩個根，

代入方程得 a2-1=0，16-8(a+1)+a2-1=0， 得a=1

綜上可知，實數a的取值范圍為a?燮－1或a＝1。

點評：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，B＝?覫 時也滿足B、A，所以當B?芴A時，就應該考慮B＝?覫 與B≠?覫 兩種情況。

（安福縣安福中學）