關(guān)于高中數(shù)學(xué)的函數(shù)定義域與思維品質(zhì)

思維品質(zhì)是指個體思維活動特殊性的外部表現(xiàn)，它包括思維的嚴(yán)密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質(zhì)。函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的始終。函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的兩大要素之一，函數(shù)的定義域（或變量的允許值范圍）似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途。在解函數(shù)題中強(qiáng)調(diào)定義域?qū)忸}結(jié)論的作用與影響，對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是十分有益的。

一、函數(shù)關(guān)系式與定義域

函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時必須考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)

關(guān)系式可能是錯誤。如：

例1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數(shù)關(guān)系式？

解：設(shè)矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：

S=x（50-x）

故函數(shù)關(guān)系式為：S=x（50-x）。

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密。因?yàn)楫?dāng)自變量x取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實(shí)際問題相矛盾，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量的范圍：0＜x＜50。

即：函數(shù)關(guān)系式為：S=x（50-x）（0＜x＜50）。

這個例子說明，在用函數(shù)方法解決實(shí)際問題時，必須注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實(shí)際問題的影響。若考慮不到這一點(diǎn)，就體現(xiàn)出學(xué)生思維缺乏嚴(yán)密性。若注意到定義域的變化，就說明學(xué)生的解題思維過程體現(xiàn)出較好思維的嚴(yán)密性。

二、函數(shù)最值與定義域

函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上能否取到最大（小）值的問題。如果不注意定義域，將會導(dǎo)致最值的錯誤。如：

例2：求函數(shù)y=x -2x-3在［-2，5］上的最值。

解：∵y=x -2x-3=（x -2x+1）-4=（x-1） -4

∴當(dāng)x=1時，y =-4

初看結(jié)論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產(chǎn)生這種錯誤的根源在于學(xué)生是按照求二次函數(shù)最值的思路，而沒有注意到已知條件發(fā)生變化。這是思維呆板性的一種表現(xiàn)，也說明學(xué)生思維缺乏靈活性。

其實(shí)以上結(jié)論只是對二次函數(shù)y=ax +bx+c（a＞0）在R上適用，而在指定的定義域區(qū)間［p，q］上，它的最值應(yīng)分如下情況：

（1）當(dāng)- ＜p時，y=f（x）在［p，q］上單調(diào)遞增函數(shù)f（x） =f（p），f（x） =f（q）；

（2）當(dāng)- ＞q時，y=f（x）在［p，q］上單調(diào)遞減函數(shù)f（x） =f（p），f（x） =f（q）；

（3）當(dāng)p≤- ≤q時，y=f（x）在［p，q］上最值情況是：

f（x） =f（- ）= ，

f（x） =max{f（p），f（q）}。即最大值是f（p），f（q）中最大的一個值。

故本題還要繼續(xù)做下去：

∵-2≤1≤5

∴f（-2）=（-2） -2×（-2）-3=-3

f（5）=5 -2×5-3=12

∴f（x） =max{f（-2），f（5）}=f（5）=12

∴函數(shù)y=x -2x-3，在［-2，5］上的最小值是-4，最大值是12。

這個例子說明，在函數(shù)定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數(shù)最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現(xiàn)出學(xué)生思維的靈活性。

三、函數(shù)值域與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時，應(yīng)注意函數(shù)定義域。如：

例3：求函數(shù)y=4x-5+ 的值域。

錯解：令t= ，則2x=t +3，

∴y=2（t`+3）-5+t=2t +t+1=2（t+ ） + ≥ 。

故所求的函數(shù)值域是［ ，+∞）。

剖析：經(jīng)換元后，應(yīng)有t≥0，而函數(shù)y=2t +t+1在［0，+∞）上是增函數(shù)，

所以當(dāng)t=0時，y =1。

故所求的函數(shù)值域是［1，+∞）。

以上例子說明，變量的允許值范圍是何等重要，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細(xì)地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結(jié)果的產(chǎn)生。也就是說，學(xué)生若能在解好題目后檢驗(yàn)已經(jīng)得到的結(jié)果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細(xì)地檢查思維過程，便體現(xiàn)出良好的思維批判性。

四、函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行。

五、函數(shù)奇偶性與定義域

判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)呈中心對稱，如果定義域區(qū)間是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不成中心對稱，則函數(shù)就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。

綜上所述，在求解函數(shù)函數(shù)關(guān)系式、最值（值域）、單調(diào)性、奇偶性等問題中，若能精細(xì)地檢查思維過程，思辨函數(shù)定義域有無改變（指對定義域?yàn)镽來說），對解題結(jié)果有無影響，就能提高學(xué)生質(zhì)疑辨析的能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，從而不斷提高學(xué)生的思維能力，進(jìn)而有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性。

參考文獻(xiàn)：

［1］王岳庭主編.數(shù)學(xué)教師的素質(zhì)與中學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)論文集.北京：海洋出版社，1998.

［2］田萬海主編.數(shù)學(xué)教育學(xué).浙江：浙江教育出版社，1993.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”