關于一元二次方程根的討論

對于整系數一元二次方程ax +bx+c=0（a≠0）

（1）方程有有理數根的條件是△=b -4ac為一有理數的平方；

（2）若a、b、c為奇數，則方程無整數根；

（3）若a、b為偶數，而c是奇數，則方程無整數根。

對于整數根，除有結論（2）、（3）外，更多的是在（1）的基礎上利用求根公式、判別式、根與系數的關系（韋達定理）等二次方程的基本理論并結合整數的性質進行討論。

例1：關于x的方程kx -（k-1）x+1=0有有理根，求整數k的值（2002年山東省初中數學競賽試題）。

解：（1）當k=0時，x=-1，方程有有理根；

（2）當k≠0時，因方程有有理根，所以若k是整數，則：

△=（k-1） -4k=k -6k+1必為完全平方數，即存在非負整數m，使k -6k+1=m ，配方，得（k-3） -m =8

∴（k-3+m）（k-3-m）=8

由于k-3+m與k-3-m是奇偶性相同的整數，其積為8，所以它們均是偶數，又k-3+m≥k-3-m，從而有：

k-3+m=4k-3-m=2 k-3+m=-2k-3-m=-4

解得k值為k=0或k=6。

［評注］設k -6k+1=m 是將討論△為完全平方數的問題轉化為解二元二次不定方程的問題，最后利用因式分解的方式求出了整數k的值。

例2：求滿足如下條件的所有k值，使關于x的方程kx +（k+1）x+（k-1）=0的根都是整數（第十三屆江蘇省初中數學競賽試題）。

解：（1）當k=0時，所給方程為x-1=0，有根為x=1，符合題意；

（2）當k≠0時，設兩根為x 、x ，

則有：x +x =- =-1-

x x = =1-

兩式相減得：x +x -x x =-2，即：

x +x -x x -1=-3

∴（x -1）（x -1）=3

x -1=1x -1=3x -1=-1x -1=-3x -1=3x -1=1x -1=-3x -1=-1

∴x +x =6或x +x =-2

∴-1- =6或-1- =-2解得k=- 或k=1

又∵△=-3k +6k+1，當k=- 或1時，都有△＞0

綜上所述，滿足條件的k為0，- ，1。

［評注］該題如果直接用求根公式或判別式討論k的值則很難解決。因此，要緊緊抓住整數根的條件，利用根與系數的關系，得到x +x ，x x 與k的關系式，但由于 不一定是整數，從而消去 ，結合數的質因數分解就大大縮小了x +x 的范圍，從而使問題得以順利解決。

例3：設關于x的二次方程（k -6k+8）x +（2k -6k-4）x+k =4的兩根都是整數，求滿足條件的所有實數k的值（2000年全國初中數學聯賽試題）。

解：原方程可化為（k-4）（k-2）x +（2k -6k-4）x+（k-2）（k+2）=0

［（k-4）x+（k-2）］［（k-2）x+（k+2）］=0

∵（k-4）（k-2）≠0

∴x =- =-1-

x =- =-1-

∴k-4=- ，k-2=- （x ≠-1，x ≠-1）

消去k，得x x +3x +2=0

∴x （x +3）=-2

由于x 、x 都是整數，所以有：

x =-2x +3=1x =1x +3=-2x =2x +3=-1

解得

x =-2x =-2x =1x =-5x =2x =-4

∴k=6，3， ，經過檢驗k=6，3， 均滿足題意。

［評注］由于原方程可分解，故而解出方程的根。但由于k為實數，所以消去k，根據整數的分解，最終求出兩根，再求k的值。

從上面幾例可以看出，求解方程的有理根或整數根的方法較為靈活，并無一定之法，關鍵在于依據題意，正確理解基本概念及相關知識，找出邏輯關系，尋求解決問題的有效方法。

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