異面直線距離的六種求解策略

空間距離可分解為七種：兩點間的距離，點到直線的距離，兩平行線間的距離，兩異面直線間的距離，點到平面的距離，平行于一個平面的直線到此平面的距離，兩平行平面間的距離。這七種求法基本上都是轉化兩點間的距離來求，因此，會求空間兩點間的距離是基礎，求點到直線和點到平面的距離是重點，求兩條異面直線間的距離是難點。本文提供求異面直線距離的幾種策略，以突破難點。

求異面直線距離高考只要求已給出公垂線段的題型，下面通過一例正方體中異面直線的距離的求法加以說明。

題目：如圖，已知正方體ABCD—A B C D 的棱長為a，求異面直線BD與B C的距離。

解法1：連接AC交BD的中點O，取CC 的中點M，連接BM交B C于E，連接AC ，則OM∥AC ，過E作EF∥OM交OB于F，則EF∥AC ，又斜線AC 在平面ABCD內的射影為AC，BD⊥AC，∴BD⊥AC ，∴EF⊥BD。同理AC ⊥B C，EF⊥B C，∴EF為BD與B C的公垂線。由于M為CC 的中點，△MEC∽△BEB ，∴MC∶BB =ME∶BE=1∶2，BM= a，BE= MB= a，EF∥OM，BF∶BO=BE∶BM= ，故BF= OB= a，EF= = a。

解法2：（轉化為直線到平面的距離）BD∥平面B D C，B C?奐平面B D C，故BD與B C的距離就是BD到平面B D C的距離，由V =V ，即 #8226; （ a） h= #8226; a #8226;a，因而h= a。

解法3：（轉化為兩平行平面間的距離）易證：平面B D C∥平面A BD，AC ⊥平面A BD。用體積法易證A到平面A BD的距離為 a，同理可知C 到平面B D C的距離為 a，而A C= a，故兩平行平面間的距離為 a。

解法4：（垂面法）如圖，BD∥平面B D C，B D ⊥A C ，B D ⊥OO ，B D ⊥面OO C C，面OO C C∩面B D C=O C，O ∈B D ，故O到面B D C的距離為Rt△ 斜邊上的高，h= = = a。

解法5：（極值法）如圖，在B C上取一點M，作ME⊥BC交BC于E，過E作EN⊥BD交BD于N，易知MN為BD與B C的公垂線時，MN最小。設BE=x，CE=ME=a-x，EN= x，MN= = = ，當x= a時，MN= a。

解法6：（向量法）如圖，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，由已知，則D（0，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），B （a，a，a），設M（m，m，0），N（n，a，n），則 =（n-m，a-m，n）， =（a，0，a）， =（a，a，0）。由于 ⊥ 且 ⊥ ，因而a（n-m）+a（a-m）=0且a（n-m）+an=0。解得m= a，n= a，因而M（ a， a，0），N（ a，a， a），故| |= = a。

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